“杨辉三角”与二项式系数的性质习题

2017级数学2-3针对性练习编制时间：2018年12月3日主编人：何公平审核人：唐丽娜学生姓名：使用时间：2018年月日1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋32．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．23．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为()A．71B．70C．21D．494．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64B．32C．63D．315．若3x－132xn的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是()A．3B．4C．10D．12二、填空题6．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．7．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为________．8．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．1223434774511141156162525166…三、解答题9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；2017级数学2-3针对性练习编制时间：2018年12月3日主编人：何公平审核人：唐丽娜学生姓名：使用时间：2018年月日(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99.10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．B级能力提升1．若9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数2．(2015·山东卷)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________．3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于165x2＋1x5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．1.解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.答案：C2.解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.答案：A3.解析：因为奇数项的二项式系数和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为C27(－2)2＋C17(－2)＝70.答案：B4.解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝12×26＝32.答案：B5.解析：Tr＋1＝Crn(3x)n－r－132xr＝Crn(3)n－r·(－1)r132r·xn－r·x－r3＝Crn(3)n－r－132rxn－43r，令n－43r＝0，得n＝43r.所以n取最小值为4.答案：B2017级数学2-3针对性练习编制时间：2018年12月3日主编人：何公平审核人：唐丽娜学生姓名：使用时间：2018年月日6.解析：C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝C710a3(a)7＝120a132.答案：120a1327.解析：由题意可得：(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1＋x＋x2)(x－1)10＝(x3－1)(x－1)9，即考查代数式：x3(x－1)9－(x－1)9中x5的系数，据此可得，系数为：C79×(－1)7－C49×(－1)4＝－162.答案：－1628.解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n（n－1）2＋1＝n2－n＋22.9.解：(1)令x＝0，得a0＝2100.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝(2－3)100，①所以a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.②由①②联立，得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝（2－3）100－（2＋3）1002.10.解：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26，解得n＝8.所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1120x4.设第(k＋1)项系数最大，则有Ck82k≥Ck－182k－1，Ck82k≥Ck＋182k＋1，解得5≤k≤6.又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.1.解析：9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1＝19(9n＋1＋C1n＋1·9n＋…＋Cn－1n＋1·92＋Cnn＋1＋Cn＋1n＋1)－19＝19(9＋1)n＋1－19＝19(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．答案：A2.解析：具体证明过程可以是：C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝12(2C02n－1＋2C12n－1＋2C22n－1＋…2017级数学2-3针对性练习编制时间：2018年12月3日主编人：何公平审核人：唐丽娜学生姓名：使用时间：2018年月日＋2Cn－12n－1)＝12[(C02n－1＋C2n－12n－1)＋(C12n－1＋C2n－22n－1)＋(C22n－1＋C2n－32n－1)＋…＋(Cn－12n－1＋Cn2n－1)]＝12(C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＋Cn2n－1＋…＋C2n－12n－1)＝12·22n－1＝4n－1.答案：4n－13.解：由165x2＋1x5得Tr＋1＝Cr516x255－r1xr＝1655－rCr5x20－5r2，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C45·165＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝C24a4＝54.解得a＝±3.