数学物理方程(谷超豪)课后习题完整解答

1第一章．波动方程§1方程的导出。定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程xuExtuxt其中为杆的密度，E为杨氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：),();,(txxuxxtxux其相对伸长等于),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx令0x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于),()(),(txuxEtxTx其中)(xE是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx于是得运动方程ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(利用微分中值定理，消去x，再令0x得ttuxsx)()(xxESu()若)(xs常量，则得22)(tux=))((xuxEx即得所证。2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为.0),(,0),0(tlutu(2)若lx为自由端，则杆在lx的张力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为xu|lx=0同理，若0x为自由端，则相应的边界条件为xu∣00x(3)若lx端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(tv给出，则在lx端支承的伸长为)(),(tvtlu。由虎克定律有xuE∣)](),([tvtluklx其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件)(uxu∣)(tflx其中Ek特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(tv得边界条件)(uxu∣0lx。同理，若0x端固定在弹性支承上，则得边界条件xuE∣)](),0([0tvtukx即)(uxu∣).(0tfx3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(tuhxxuhxxE其中h为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径l为：hxl12所以截面积2)1()(hxxs。利用第1题，得])1([)1()(2222xuhxExtuhxx若ExE)(为常量，则得2222)1(])1[(tuhxxuhxxE4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为，则x点处的张力)(xT为)()(xlgxT且)(xT的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段),,(xxx则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为)(sin))(();(sin)(xxxxlgxxlg其中)(x表示)(xT方向与x轴的夹角又.sinxutg于是得运动方程xuxxltux)]([22∣xuxlgxx][∣gx利用微分中值定理，消去x，再令0x得])[(22xuxlxgtu。5.验证2221),,(yxttyxu在锥222yxt0中都满足波动方程222222yuxutu证：函数2221),,(yxttyxu在锥222yxt0内对变量tyx,,有二阶连续偏导数。且tyxttu23222)(2252222322222)(3)(tyxtyxttu)2()(22223222yxtyxtxyxtxu23222)(22522223222223xyxtyxtxu222252222yxtyxt同理22225222222yxtyxtyu所以.222222252222222tuyxtyxtyuxu即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段xxx,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为tub,故xxx,上所受摩阻力为tuxxsxpb运动方程为:tuxxsxbxxuEStuEStuxxsxxx223利用微分中值定理，消去x,再令0x得.22tuxsxbxuESxtuxsx若)(xs常数，则得tuxbxuExtux22若则得方程令也是常量是常量,.,2EaExEx.22222xuatubtu§2达朗贝尔公式、波的传抪1.证明方程常数011122222htuhxaxuhxx的通解可以写成xhatxGatxFu其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:.,:0xtuxut解：令vuxh则xvuxhxuxhxvuxuxh2,))(()()()()[(2222xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx又2222tvtuxh代入原方程，得222221tvxhaxvxh即222221tvaxv由波动方程通解表达式得atxGatxFtxv,所以xhatxGatxFu为原方程的通解。由初始条件得)1(1xGxFxhxxaGxaFxhx//1所以)2(10cdhaxGxFxx由)2(),1(两式解出22121cdhaxxhxFxxo22121cdhaxxhxGxxo所以)]()()()[()(21),(atxatxhatxatxhxhtxu+atxatxhxha()()(21.)d即为初值问题的解散。２．问初始条件)(x与)(x满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波4组成？解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F，G由初始条件)(x与)(x决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对于任何tx,有G(x+at)常数.即对任何x,G(x)C0又G（x）=xxaCdax02)(21)(21所以)(),(xx应满足)(xxxCda01)(1（常数）或'(x)+)(1xa=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）).()(0022222xuxuxuatuatxatx)0()0(解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得)(x=F（0）+G（2x）令x+at=0得)(x=F（2x）+G(0)所以F(x)=)2(x-G(0).G（x）=)2(x-F(0).且F（0）+G(0)=).0()0(所以u(x,t)=()2atx+)2(atx-).0(即为古尔沙问题的解。4．对非齐次波动方程的初值问题)()(),(,0),0(),(22222xxtuxutxttxfxuatu证明：（1）如果初始条件在x轴的区间[x1,x2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x，2x]的影响区域以外不发生变化；（2）在x轴区间[2,1xx]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,xx]的决定区域中解的数值。证：（1）非齐次方程初值问题的解为u(x,t)=atxatxaatxatx21)]()([21d)(+ttaxtaxddfa0)()(.),(21当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。当),(x)(x在[2,1xx]上发生变化，若对任何t0,有x+atx1或x-atx2,则区间[x-at,x+at]整个落在区间[2,1xx]之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，即对t0,当xx1-at或xx2+at,也就是（x,t）落在区间[21,xx]的影响域)0(2tatxxatxt之外，解u(x,t)不发生变化。（1）得证。(2).区间[21,xx]的决定区域为atxxatxt21,0在其中任给（x,t）,则21xatxatxx故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,xx]中。因此[21,xx]上所给的初绐条件)(),(xx代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。55.若电报方程GRuuLGCRCLuutttxx为常数GRLC,,,具体形如atxfttxu,的解（称为阻碍尼波），问此时GRLC,,,之间应成立什么关系？解atxfttxu,atxftuxxatxftaatxftutatxftaatxftaatxftutt22代入方程，得0212atxftGRtGRtLGCRtCLatxftLGCRataCLatxftCLa由于f是任意函数，故fff,,的系数必需恒为零。即002012tGRtLGCRtCLtLGCRtCLCLa于是得21aCLLGCRatutu22所以tLGCRaectu202代入以上方程组中最后一个方程，得0242224GRLGCRaLGCRaCL又GRCLLGCRCLa2241,1得即02LGCR最后得到RGLC6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题00,000,002ttuxxuxuuautttxxtt解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：atxatxdaatxatxtxu2121,。由题意知xx,仅在x0上给出，为利用达朗贝尔解，必须将xx,开拓到0x上，为此利用边值条件，得atatdata