历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()．A．3B．4C．5D．62．(2013大纲全国，理2)3(1+3i)＝()．A．－8B．8C．－8iD．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()．A．－4B．－3C．－2D．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()．A．(－1,1)B．11,2C．(－1,0)D．1,125．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝21log1x(x＞0)的反函数f－1(x)＝()．A．121x(x＞0)B．121x(x≠0)C．2x－1(x∈R)D．2x－1(x＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝43，则{an}的前10项和等于()．A．－6(1－3－10)B．19(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()．A．56B．84C．112D．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C：22=143xy的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()．A．13,24B．33,84C．1,12D．3,149．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在1,2是增函数，则a的取值范围是()．A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．23B．33C．23D．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若0MAMB，则k＝()．A．12B．22C．2D．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是()．A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B．y＝f(x)的图像关于直线π=2x对称C．f(x)的最大值为32D．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sinα＝13，则cotα＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xxyxy所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝314，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1xxxx.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项111=1+23nan，证明：a2n－an＋14n＞ln2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B.2．答案：A解析：323(1+3i)=133i+3(3i)+(3i)=8.故选A.3．答案：B解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2－|n|2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B.4．答案：B解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜12.故选B.5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x＝121y(y＞0)，因此f－1(x)＝121x(x＞0)．故选A.6．答案：C解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝13na.∴数列{an}是以13为公比的等比数列．∵a2＝43，∴a1＝4.∴S10＝101413113＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为28C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为24C，所以x2y2的系数为2284CC168.故选D.8．答案：B解析：设P点坐标为(x0，y0)，则2200=143xy，2002PAykx，1002PAykx，于是122200222003334244PAPAxykkxx.故12314PAPAkk＝－.∵2PAk∈[－2，－1]，∴133,84PAk.故选B.9．答案：D解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－21x≥0在1,2上恒成立，即212axx在1,2上恒成立．∵函数212yxx在1,2上为减函数，∴max21123212y.∴a≥3.故选D.10．答案：A解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.∵11BDACBDAAACAAA1111BDACCACHACCA平面平面11=CHBDCHCOBDCOOCH⊥平面C1BD，∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2，则2==22ACOC，222211293=2==2222COOCCC.由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即322222CH＝，∴2=3CH.∴sin∠HDC＝223==13HCDC.故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2242kk，x1x2＝4.①由112222ykxykx121221212124,[24].yykxxkyykxxxx①②∵0MAMB，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.故选D.12．答案：C解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx.令t＝sinx，t∈[－1,1]，则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.令g′(t)＝2－6t2＝0，得3=3t.当t＝±1时，函数值为0；当33t时，函数值为439；当33t时，函数值为439.∴g(t)max＝439，即f(x)的最大值为439.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：22解析：由题意知cosα＝21221sin193.故cotα＝cos=22sin.14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245AA480(种)．15．答案：1,42解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知12BCk，kAC＝4，∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，则12≤a≤4.16．答案：16π解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝32R.又OK⊥EK，∴32＝OE·sin60°＝3322R.∴R＝2.∴S＝4πR2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{an}的公差为d.由S3＝22a得3a2＝22a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得22S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝222122acbac，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝1313+2242，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FG∥CD，FG⊥PD.连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－P