2.5--矩阵的秩及其求法

1一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法第五节矩阵的秩及其求法第二章三、满秩矩阵第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵什么性质呢？21.k阶子式定义1设nmijaA在A中任取k行k列交叉),min1(nmkk称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念设110145641321A，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为10122D3设110145641321A，共有182423CC个二阶子式，有43334CC个三阶子式。例如而1015643213D为A的一个三阶子式。显然，nm矩阵A共有knkmcc个k阶子式。2.矩阵的秩nmijaA设，有r阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1为阶梯形矩阵，求R(B)。解01021，由于二阶子式不为0，所以R(B)=2.1021B010010100321A例2求R(A)。5解：存在一个三阶子式不为0，所以R(A)=3.01100010321A没有4阶子式，6例如100010011C3CR125034000D2RD21235081530007200000E3RE一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。7aaaA111111,3AR如果1a求a.解3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例3设分析：R（A)3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。8KKKKA1111111111113AR则K3例3311111113(1)(3)111111KAKKKKK031KK或11111111111111111AK时，A有非零的1阶子式，但A所有的2阶子式都为0，所以R（A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。92、用初等变换法求矩阵的秩定理1矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即BA则)()(BRAR注：jirr.1只改变子行列式的符号。irk.2是A中对应子式的k倍。jikrr.3是行列式运算的性质。第二种求矩阵A的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行数，)()(BRARBA阶梯型矩阵10例4211163124201A解R(A)=2000021104201，21102110420113rr122rrA求.AR求矩阵的秩。解所以R（A）=2。例512,2,6352132111，求）（且设ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例6Ex1.求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。解先求A的秩，对A作初等行变换化为行阶梯形：故R（A）=3。再求A的一个最高阶非零子式。因R（A）=3，知A的最高阶非零子式为3阶，返回易计算A的前三行构成的子式因此这个子式便是A的一个最高阶子式。15三、满秩矩阵,nAR称A是满秩阵，（非奇异矩阵）,nAR称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：0AnARA为n阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理2设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵.,,,21sPPP使得EAPPPPss121,16例7213212321A320430321321312rrrr32043000131rrErr100010001323ARA为满秩方阵。此过程相当于A32011000132rr3201100011132rr)()(100110001223rr)]([)]([212313EE)31()32(EE)]([)]([1312EE)]([223E)(32EE17关于秩的一些结论（熟记）：规定：零矩阵的秩为0.(1)根据行列式的性质，()().TRARA(2)A为m×n矩阵,0≤R(A)≤min{m,n}.定理3R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。设A是nm矩阵，B是tn矩阵，定理4).()()(ABRnBRAR推论1如果AB=0则.)()(nBRAR推论2如果R(A)=n,AB=0则B=0。推论3若A,B均为nm矩阵，则).()()(BRARBAR18设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n证：R（A+E）+R（E-A）≥R[(A+E)-(A-E)]=R（2E）=n∴R（A+E）+R（A-E）≥n例8推论3若A,B均为nm矩阵，则).()()(BRARBAR19作业P109123性质1).()()(ABRnBRARBEOAEOBEOEABA证明：EOBE因为所以OEABOROEABARBEOARBRAR)()(nABRERABR)()()(定理522定理A是一个s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)证明:由定理2有秩(A)=秩(P-1PA)≤秩(PA)≤秩(A)即秩(A)≤秩(PA)同理可证秩(A)=秩(AQQ-1）≤秩(AQ)≤秩(A)秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)