2013年高考新课标1理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合55,022xxBxxxA，则()A．BAB．RBAC．ABD．BA2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．A．4B．54C．4D．543．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．已知双曲线C：2222=1xyab0,0ba的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．xy41B．xy31C．xy21D．xy5．执行下面的程序框图，如果输入的3,1t，则输出的s属于()A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．33500cmB．33866cmC．331372cmD．332048cm7．设等差数列na的前n项和为nS，若3,0,211mmmSSS，则m()A．3B．4C．5D．68．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．816B．88C．1616D．1689．设m为正整数，myx2展开式的二项式系数的最大值为a，12myx展开式的二项式系数的最大值为b.若ba713，则m()A．5B．6C．7D．810．已知椭圆E：2222=1xyab0,0ba的右焦点为0,3F，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为1,1，则E的方程为()A．1364522yxB．1273622yxC．1182722yxD．191822yx11．已知函数xf220ln(1)0.xxxxx，，，若axxf，则a的取值范围是()A．0,B．1,C．1,2D．0,212．设nnnCBA的三边长分别为nnncba,,,nnnCBA的面积为.,3,2,1,nSn若111112,acbcb，2,2,111nnnnnnnnabcacbaa，则()A．nS为递减数列B．nS为递增数列C．12nS为递增数列，nS2为递减数列D．12nS为递减数列，nS2为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.14．若数列na的前n项和3132nnaS，则na的通项公式是na_______.15．设当x时，函数xxxfcos2sin取得最大值，则cos__________.16．若函数baxxxxf221的图像关于直线2x对称，则xf的最大值为__________．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)如图，在ABC中，90ABC，1,3BCAB，p为ABC内一点，90BPC.(1)若21PB，求PA；(2)若150APB，求PBAtan.18．(本小题满分12分)如图，三棱柱111CBAABC中，60,,11BAAAAABCBCA.(1)证明：CAAB1；(2)若平面ABC⊥平面BBAA11，CBAB，求直线CA1与平面CCBB11所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为21，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)已知圆11:22yxM，圆91:22yxN，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两点，当圆P的半径最长时，求AB.21．(本小题满分12分)设函数dcxexgbaxxxfx,2．若曲线xfy和曲线xgy都过点2,0P，且在点P处有相同的切线24xy.(1)求dcba,,,的值；(2)若2x时，xkgxf，求k的取值范围．请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.22．（本小题10分）【选修4-4；坐标系与参数方程】已知曲线1C的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin2.(1)把1C的参数方程化为极坐标方程；(2)求1C与2C交点的极坐标20,0．23．（本小题10分）【选修4-5；不等式选讲】已知函数3,212xxgaxxxf.(1)当2a时，求不等式xgxf的解集；(2)设1a，且当21,2ax时，xgxf，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴55(34i)34i34i(34i)(34i)55z.故z的虚部为45，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵52cea，∴22222254cabeaa.∴a2＝4b2，1=2ba.∴渐近线方程为12byxxa.5．答案：A解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为34500π5π33(cm3)，故选A.7．答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋12mm×1＝0，∴112ma.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴132mm.∴m＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.9．答案：B解析：由题意可知，a＝2Cmm，b＝21Cmm，又∵13a＝7b，∴2!21!13=7!!!1!mmmmmm，即132171mm.解得m＝6.故选B.10．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴2211222222221,1,xyabxyab①②①－②，得1212121222=0xxxxyyyyab，即2121221212=yyyybaxxxx，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而1212yyxx＝kAB＝011=312，∴221=2ba.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为22=1189xy.故选D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝12t＋1－t.∴t＝2.14．答案：(－2)n－1解析：∵2133nnSa，①∴当n≥2时，112133nnSa.②①－②，得12233nnnaaa，即1nnaa＝－2.∵a1＝S1＝12133a，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.15．答案：255解析：f(x)＝sinx－2cosx＝125sincos55xx，令cosα＝15，sinα＝25，则f(x)＝5sin(α＋x)，当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，所以cosθ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sinα＝22555.16．答案：16解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即15164,0893,babab解得8,15.ab∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5.易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15]＝(－8－45)(8－45)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15]＝(－8＋45)(8＋45)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明