《不等关系与不等式》(PPT课件)

3.1《不等关系与不等式》在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，我们来看下面的例子。国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的高低。它的计算公式是。%n100食品消费额消费支出总额有关机构还制定了各种类型的家庭应达到的恩格尔系数的取值范围：家庭类型贫穷温饱小康富裕最富裕nn60%50%n≤60%40%n≤50%30%n≤40%n≤30%现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：1、今天的天气预报：明天最低温度为23℃，最高温度为35℃；2、三角形ABC的两边之和大于第三边；3、a是一个非负实数。23℃≤t≤35℃AB+ACBC或……a≥04、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式是：_________405、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：v≤40A.f≥2.5%或p≥2.3%B.f≥2.5%且p≥2.3%C.2.5%2.3%fp≥≥(C)6.某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：月租费每分钟通话费中国电信卡30元0.40元求这个人月通话时间的取值范围。即：30+0.4x≤150.解得x≤300.7.若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？698518400000,xyxyxyN分析:设698mm与518mm分别x与y个我们用数学符号“≠”，“”，“”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。BAxO在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧。在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a和b，在a=b，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立。如果a－b是正数，则ab；如果ab，则a－b为正数；如果a－b是负数，则ab；如果ab，则a－b为负数；如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零。通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为，读作“p推出q”.pq如果都是正确的命题，记为读作“p等价于q或q等价于p”。pqqp且pq上述结论可以写成：0abab0abab0abab判断两个实数大小的依据是：000abababababab作差比较法这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.例1．比较x2－x与x－2的大小。解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.例2.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．解:∵(3)(5)(2)(4)aaaa22(215)(28)7aaaa∴(3)(5)(2)(4)aaaa0∴(3)(5)(2)(4)aaaa课堂练习:在下列各题的横线中填入适当的不等号.22212(32)_____626;(32)____(61);11______;52650____log.abab12⑴⑵⑶⑷若，log3x12xx2.比较与的大小.解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1=x2(x－1)+(x－1)=(x－1)(x2+1),∵x2+10，∴当x1时，x3x2－x+1；当x=1时，x3=x2－x+1，当x1时，x3x2－x+1.3．当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。解：(px+qy)2－(px2+qy2)=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，因此(px+qy)2－(px2+qy2)=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，因为p，q为正数，因此(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时，不等式中等号成立。证明:∵()()()bmbbmaambamaama例4已知abm、、都是正数,且ab,求证:bmbama()abmaabbmama()()mabama∵abm、、都是正数,且ab∴0,0,0,0mmaaab∴0bmbama∴bmbama练习2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。41018156600xyxyxy分析:设分别生产甲．乙两种肥料为x吨,y吨