阻尼对振动的影响

§10-4阻尼对振动的影响本节主要内容•阻尼理论的了解•单自由度体系有阻尼的自由振动•振动方程的解•阻尼对频率和振幅的影响•阻尼比的确定•有阻尼的强迫振动无阻尼振动内容回顾()cossinvytytt()sin()ytAt)sin(sin1122ttyystmtFyysin2&&02yy&&22max11][styy1.无阻尼自由振动：A=y02+v02/ω2α=1tan-1(y0ω/v0)2.无阻尼受迫振动：tyystsin1122平稳阶段：§10-4阻尼对振动的影响一、阻尼理论1、阻尼的两种定义或理解：2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。1）使振动衰减的作用；2）使能量耗散。2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比：*滞变阻尼理论DFcy3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。3）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。c—阻尼系数，粘滞阻尼系数。（单位N·s/m）mFS(t)FI(t)P(t)y..kmP(t)P(t)()DFtC()()SFtkyt()()IFtmyt0ymkymcy&&&()DFtcy1、阻尼对自由振动0kyycym&&&（令mc22)km及022yyy&&&设解为：tBey0222二、单自由度体系有阻尼振动微分方程平衡方程:)(tPkyycym&&&特征方程（1）振动方程的解),1(22,1特征值一般解tteBeBty2121)(ξ＞1ξ=1ξ＜1大阻尼临界阻尼小（弱）阻尼ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。1）低阻尼情形(1)令21rλi=-ωξ±iωr)sincos()(21tCtCetyrrt方程的一般解为：由初始条件确定C1和C2；设&vyyy)0()0(得ryvCyC21)sincos()(tyvtyetyrrrt)sin)(tAetyrt(其中yvytgyvyArr122yt0AnAn+1tAerT2讨论：（a）阻尼对频率和周期的影响rT2而随,12r当ξ0.2，则存在0.96ωr/ω1。在工程结构问题中，若0.01ξ0.1，可近似取:TTrr,yt0AnAn+1tAerT2（b）阻尼对振幅的影响振幅tAe阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结构停止振动。相邻两个振幅的比:常数Tkkeyy1振幅按等比级数递减.rTkkTeyy2lnln1称为振幅的对数递减率.11ln21ln21,12.0kkkkrryyyy则如nkkyynln21设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2±tetCCy)(21tetvtyy])1([00220yyytyy0θ000vtg这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）mc2mkmcr22rcc阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。3)ξ1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。EI=∞m例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：0335.04.05.0ln21ln211kkyymNAPk/10196005.0108.94301189.45.122sTk2mc2m22cmsNmsN/2.332/33220189.4101960355.024mnnnnAAmAAln21ln211例6.对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大梁的重量,kNgkW6.4869812200496.024.12由skgWT4.122(2)自振频率)(714.04.111HzTfsf148.42(3)阻尼特性,0355.06.12ln21212)999.0(1r(4)6周后的振幅TTtteeeyy)(10006106)6(6000yyeeeyyTTttcmyyyy524.0226.16060162、有阻尼强迫振动222222222222224)(2,4)(mFBmFA简谐荷载P(t)=Fsinθt22sinFyyytm设特解为：y=Asinθt+Bcosθt代入上式得：齐次解加特解得到通解：}sincos{21tCtCeyrrt+{Asinθt+Bcosθt}结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)2122222222)(1)(2,4121tgyBAystP振幅：yp，最大静力位移：yst=F/k=F/mω2stPyy2122222241动力系数：动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点注意：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最为显著。21共振时②当θ接近ω时，β增加很快，ξ对β的数值影响也很大。在0.75θ/ω1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，21,11max峰但因ξ很小，可近似地认为：221④由y=yPsin(θt－α)可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsinθt滞后一个相位角α，21)(1)(2tg2sin(),sin(),sin(),cos()IPSPPDPyytFkykytFmymytFcycyt弹性力FS，惯性力FI，阻尼力FD分别为：•当θω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主要由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。•当θω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对说来较小，动荷主要由FI平衡，FI与y同向，y与P反向；2sin(),sin(),sin(),cos()IPSPPDPyytFkykytFmymytFcycyttsin21tFsinm22•当θ=ω时,α→90°由此可见：共振时（θ=ω），FS与FI刚好互相平衡，βyst有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。k=mω2=mθ22mF0sin(90)SPFkyt20sin(90)IPFmyt0cos(90)DPFcycyttymPsin2忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比与无阻尼强迫振动相比,有阻尼强迫振动有以下特点：（1）θ＜＜ω，θ/ω→0，β→1。由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要由结构恢复力平衡.此时α→00,位移基本上与荷载同步。(y与FP同步)（2）θ＞＞ω，θ/ω→∞，β很小。体系振动很快，质点近似于作振幅很小的颤动。由于振动很快，因此惯性力很大，动力荷载主要由惯性力平衡。此时α→1800，位移与荷载反向。（y与FP反向）（3）、θ≈ω，θ/ω→1，β增加很快,动力反应即振幅很大。此时α→900，位移y(t)落后于荷载FP(t)大约900，即：FP(t)最大时，y(t)很小，所以FI(t)和Fs(t)都很小。此时,FP(t)主要由阻尼力FD(t)来平衡。θ在ω附近时，阻尼力FD(t)将起重大作用。动力系数明显受阻尼大小的影响。在0.75＜θ/ω＜1.25之间，阻尼将大大减小简谐强迫振动的位移幅值。