矩阵的初等变换与初等矩阵-共52页

第五节矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换1第二章矩阵及其运算二、初等矩阵四、小结思考题三、初等变换法求逆矩阵2第二章矩阵的运算一、矩阵的初等变换1、引例求解线性方程组)1(2822122432321321321xxxxxxxxx132分析：用加、减消元法解下列方程组,观察其过程．3第二章矩阵的运算解)(1B)1()(2B213214243212321321321xxxxxxxxx1320302123232321xxxxxxx13221213×4第二章矩阵的运算3200212332321xxxxxx132由③得,代入②,得;以,03x02x02x03x代入①,得,于是得方程组的解:11x001321xxx5第二章矩阵的运算小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij(与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki6第二章矩阵的运算3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji7第二章矩阵的运算因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记282211212432B则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．即(1)交换两行;(2)某一行乘以常数k;(3)某一行乘以常数k加到另一行.8第二章矩阵的运算定义9下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk2、矩阵的初等变换9第二章矩阵的运算定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或10第二章矩阵的运算等价关系的性质：；反身性）（AA1A;B,BA2则若对称性）（C.AC,BB,A3则若）传递性（．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价11第二章矩阵的运算用矩阵的初等行变换解方程组（1）：282211212432B1141124321121B21rr23r12第二章矩阵的运算3010002101121B1411243211211B122rr13rr2031002101121B23rr13第二章矩阵的运算3B由方程组()得到解的回代过程,也可用矩阵的初等变换来完成,即3B4010000101001B13r31rr322rr212rr对应方程组为001321xxx4B14第二章矩阵的运算.43都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；A00000310003011040101（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．15第二章矩阵的运算.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵,即非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都是零.A16第二章矩阵的运算00000310003011040101A214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵AF17第二章矩阵的运算.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.AF18第二章矩阵的运算例2-16利用矩阵的初等行变换,将化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.241286461062310512013954323A解6200001062310442310954323142rrA12rr19第二章矩阵的运算00000062000044231095432323rr34rr(行阶梯形矩阵)23r324rr315rr00000031000080231060432320第二章矩阵的运算(在行最简形矩阵基础上继续实施初等列变换可00000031000080231031000101)1(2r212rr31r(行最简形矩阵)将其化成标准形)F00000000010000001000000116310;cc13cc268cc563;cc233cc242;cc53cc(标准形)21第二章矩阵的运算定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.二、初等矩阵的概念行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.122第二章矩阵的运算，得初等方阵两行，即中第对调)(,jirrjiE对调两行或两列、)1(1101111011),(jiE行第i行第j23第二章矩阵的运算0)2(乘某行或某列、以数k)).(()(0kiEkriki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数1111))((kkiE行第i24第二章矩阵的运算上去列加到另一行列乘某行、以数)()(0)3(k，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)([)(ijjikccjiEkkrrijEk1111))(,(kkjiE行第i行第j25第二章矩阵的运算初等矩阵与初等变换之间的关系mnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaaA21212111211设第行第行ij26第二章矩阵的运算，得左乘阶初等矩阵用nmijmaAjiEm)(),(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行第i行第j).(jirrjiAA行对调行与第的第把：施行第一种初等行变换相当于对矩阵27第二章矩阵的运算，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列与第的第把：施行第一种初等列变换相当于对矩阵28第二章矩阵的运算；行的第乘相当于以数)(kriAkimnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211))((行第i类似地，，左乘矩阵以AkiEm))(().())((kciAkAkiEin列的第乘相当于以数，其结果矩阵右乘以29第二章矩阵的运算，左乘矩阵以AkjiEm))(,(mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkjiE2121221111211))(,().(jikrrikjA行上加到第行乘的第把30第二章矩阵的运算).())(,(ijnkccjkiAAkjiE列上加到第列乘的第把，其结果相当于右乘矩阵类似地，以mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakjiAE1222221111111))(,(注意:以右乘矩阵,其结果相当与把的第列(不是列)乘加到第列(不是列)上.kjiE,AAijkji31第二章矩阵的运算定理2设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.nmmnAAAAA初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵32第二章矩阵的运算),(),(1；则的逆变换是其本身，变换jiEjiErrji));1(())((11kiEkiEkrkrii则，的逆变换为变换.))(,())(,()(1kjiEkjiErkrkrrjiji则，的逆变换为变换33第二章矩阵的运算定理2-3矩阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵.,,,,2121llPPPAPPP使证充分性:设有初等矩阵使,,,,21lPPP.21lPPPA因初等矩阵是可逆矩阵,且可逆矩阵之积还是可逆矩阵,所以A可逆.必要性:设n阶方阵A可逆,且A的标准形矩阵为F,由于FA,F经有限次初等变换可化为A,即有初等矩阵使,,,,21lPPP34第二章矩阵的运算lrrPEPPPPA121.21lPPPA因为A可逆,也都可逆,故标准形矩阵FlPPP,,,21可逆.假设nnrEF000中的rn,则,与F可逆矛盾,因此必r=n,0F即F=E,从而证毕35第二章矩阵的运算推论1方阵A可逆的充分必要条件是AEr证因A可逆A为有限个初等矩阵的乘.21lPPPA积,即亦即.21EPPPAl上式表示E经有限次初等行变换可变为A,即AEr36第二章矩阵的运算nm推论2两个矩阵A,B等价的充分必要矩阵Q,使PAQ=B是存在阶可逆矩阵P及阶可逆mn证必要性:A与B等价存在有限个阶初等矩阵msPPP,,,21及有限个阶n初等矩阵使,,,,21tQQQ,2121BQQAQPPPts令;21sPPPP.21tQQQQ由定理2-3知P是阶可逆矩阵,Q为阶可逆矩阵mn且PAQ=B37第二章矩阵的运算充分性:由PAQ=B知个初等矩阵,,,,21sPPP,,,,21tQQQ,2121BQQAQPPPts说明,A可经初等变换化成B证毕.使;21sPPPP.21tQ