分式方程、无理方程及应用题解析训练

1分式方程、无理方程及应用题解析训练【例题精选】例1：解方程1、211112xx2、31132xx分析：第一个方程是分式方程，要先化为整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特别注意，方程两边各项都要乘以公分母．第二个方程是个无理方程，也要变为有理方程去解，可以将含根号的式子留在一边，其它移到另一边，用两边平方的方法去掉根号．解：1、211112xx两边同乘以(x+1)(x－1)21112112021022xxxxxxxxx解得：xx1221,解：2、31132xx变形为31132xx两边平方311322xx31169660610222xxxxxxx解得xx1201,经检验：x=1是增根，原方程解为x=0．说明：分式方程与无理方程的解法中，验根是必不可少的步骤之一，验根不是写一下的形式，而要实实在在的带入去检验，如方程（2）中，当x=1时，右边为－2，而左边是算术根，应大于等于零，因此是增根，检验分式方程时，只有分母不为零就可以了．例2：用换元法解方程：19291xxx分析：若用两边平方去根号有两个根号很烦，题目又指定了用换元法，因此要考虑如何换元，将根式内化简，199xxx．而另一根号为xx9，是互为倒数关系，因此可以找出如何换元的方法了．解：19291xxx原方程变形为xxxx9291设xxyxxy991,则原方程变形为yy21yyyyyyyxxxxxxxyxx21212202102129294943191,,,,,当时解得当时，此方程无解2经检验x=3是原方程的根．说明：特别注意求出y值后没有求完，而要再求x值．例3：用换元法解方程：243261522xxxx分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样可变为有理方程，再去解．解：原方程中设xxyxxy2222626,则原方程变形为241232627022xxxx23270329039232632692303192269221212221222yyyyyyyxxxxxxxxyxx解得由即解得由得此方程无解,,,,,,经检验，xx1231,是原方程的解．例4：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，在距A地7千米的地方相遇，相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进，甲到B地，乙到A地后，立即返回，两人又在距B地4千米的地方相遇，求A、B两地间距离．分析：这个题目中已知数据比较少，可以用图示法先表示出数量间关系，由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇，所用时间相同，因此可以用时间相同列等量关系，而题中又没表示出速度，可以设速度为一个中间变量，列方程就简单多了，因此引进辅助未知数也是常用的方法之一，它可以使数量间关系变得更为简明．解：设A、B两地距离为x千米，甲速为a千米/小时，乙速为b千米/小时．由题意7744axbxaxxb整理为77424xabxxab7742417010017212xxxxxxxxx解得,经检验x=0不合题意舍去，x=17是原方程的解．答：A、B两地间距离为17米．例5：一容器装满纯药液20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多液体，又用水加满，此时，桶内药液浓度为25%，求每次倒出多少药液？分析：可设每次倒出药液为x升，将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析，如第一次倒出药x升，剩药20－x，浓度为2020100%x，第二次倒出药2020xx，剩药202020xxx，此时浓度为20202020xxx，这样就找到了等量关系．32020202025%4030003010212xxxxxxx解得,经检验x1=30不合题意舍去，∴x=10是原方程的解．答：每次倒出药液为10升．说明：分析两次倒药液情况，可以列出表格来，将所列各项填入，这样使等量关系更加清楚了．例6：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可以得到本金加利息共6元，求这种存款的年利率．分析：近些年来，由于商品经济的发展，不少联系实际的应用题，其中存款利率就是其中的一种，利率与本金利息之间存在一定的固定关系，本金×利率=利息，要按照题意，找到相应的等量关系．解：设这种存款的年利率为x，1001501661001501665012513301351111011010%22xxxxxxxxx解得，不合题意舍去，答：这种存款的年利率为10%．说明：联系生产实际的问题还有很多类型，比如出售商品，若按九折出售，即按原价的90%出售，只有将这些名词的含义弄清楚了，才会正确解决这类问题．例7：甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来我走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．分析：这是北京市1996年考试题，考查学生分析问题、解决问题的能力问题，甲、乙两人从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行到相遇，隐含了刚好在A、B中点相遇的条件．即在10千米地方相遇，题中甲到B地后乙还需30分钟才能到A就是等量关系，这样就可以列出方程了．解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x+1)千米．20101011210101122005402xxxxxxxxx解得：xx1254,解：由题意由题意由题意4经检验xx1254,都是原来分式方程的解，但x=－5不合题意舍去．∴x=4是原方程的解．答：乙每小时走4千米．【综合练习】一、选择题：1．下列方程中有解的是（）．A．x120B．2132xC．2123xD．xx2232．xx6的解的情况为（）．A．无解B．x=－3或x=2C．x=3D．x=－23．用换元法解方程xxxx22881123，若设yxx2811，则原方程可化为（）．A．yy2120B．yy2230C．yy2120D．yy23404．方程xxxx223351根的个数是（）．A．0B．1C．2D．45．无理方程xx130的解为（）．A．无实根B．x1=－1,x2=3C．+3D．－1二、解答题：1．解分式方程4111xx．2．求当2454xxmx产生增根时，m的值．3．解方程2412132xxx．4．用换元法解分式方程xxxx1615．5．解方程713101xx．6．解方程xxxxxx422412222．7．用换元法解方程xxxx5757540．8．要完成一件工程，甲独作比甲、乙、丙三人合干多用5天，乙独作比三个合干多用15到，丙独作所需时间是三人合干所需时间的4倍，求三人单干各需多少时间完成．9．甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时出发，相向是行，甲行至1千米时，发现有东西遗忘在A地，立即返回，取物后又立即从A向B前进，结果两人恰在AB中点处相遇，已知甲比乙每小时多走0.5千米，求两人速度各多少？10．甲步行上午6时从A出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时间追上甲的？11．某工程队按计划挖土方200立方米，如果每天超额完成5立方米，则工程提前2天完成，求原计划的天数及每天超额的百分数．5【答案及提示】一、选择题：1．C2．D3．C4．C5．C二、解答题1．x=2提示，用去分母的方法解分式方程．2．m=8分式方程产生增根，原因在于方程两边乘了数值为0的代数式，去分母后255xxm，将x=4代入后，得m=8，因此当方程产生增根时，m=8．3．解：原方程变形为2412132xxx2412132xxx两边同乘342x63242xxx636432012022xxxxxxxx1=1,x2=2经检验x=2是增根，x=1是原方程的根．4．提示：设xxyxxyxx111324,,则解得是增根，是原方程的根。5．提示：可先将根号中的一个移到另一边，两边平方后再平方一次，即可化为有理方程，解得x34是增根，舍去，所以x=5是原方程的根．6．提示：将分母的因式进行分解，找到最简公分母后，再用去分母的方法去解，解得x=2是增根，x=3是原方程的根．7．提示：设xxyxxy57751,则，解得x=6是原方程的解．8．设三人合干x天完成，则甲独作(x+5)天，乙独作(x+15)天，丙独作4x天完成．由题意15115141xxxx解得x=5，∴甲独作10天，乙独作20天，丙独作20天．9．甲速5千米/小时，乙速4.5千米/小时．10．提示：甲从上午6点到下午5时，走了11小时，乙从上午10点到下午3点，走了5小时，设乙x小时追上甲，甲走了(x+4)小时，设距离为a，则axax1145，解得x103103,乙用小时追上，即101031313，即乙在下午1点20分追上．11．提示：设原计划x天，每天完成200x，由题意，xx22005200，解得x=10，每天超额的百分数为25%．