淋雨模型

1人在雨中行走时的淋雨问题摘要本文讨论了生活中的淋雨问题，针对人的速度、雨线与人的夹角、雨线相对速度的不同情况，建立数学模型，利用三维角度、单调性和Matlab进行求解，分析了在一定路程内如何控制人的速度使得总淋雨量最少。针对问题一，将人简化为长方体，则淋雨面积为长方体表面积，求得最大速度时人的总淋雨量。针对问题二，雨从迎面吹来时，对雨速方向进行正交分解，人的总淋雨量为头顶和前方淋雨量之和，分析知人的速度最大时淋雨量最少。针对问题三，雨从背面吹来时，通过讨论人的速度与雨速水平分量的大小关系，得出总淋雨量与人的速度以及雨线与人体的夹角之间的关系。针对问题四,建立三维坐标系，讨论雨从正侧面和后侧面吹来两种情况下如何使人的总淋雨量最少，经分析知淋雨量与人的速度以及雨线与人之间的关系。关键词：雨线方向；人的速度；淋雨面积；总淋雨量；单调性分析2一、问题重述人在外出行走时遇雨，欲从一处沿直线跑到另一处，并且使奔跑过程中淋雨量最少，一般人认为雨中奔跑的速度越快，淋雨量越少，但也有人认为奔跑的速度越快，会间接造成淋雨量增大。因此，建立数学模型讨论在以下情况下如何使淋雨量最少：问题一：在不考虑雨的方向且降雨量淋遍全身的情况下，人以最大速度奔跑，试求跑完全程的总淋雨量；问题二：雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为，当速度为多大时，总淋雨量最少；问题三：雨从背面吹来。雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为，当速度为多大时，总淋雨量最少；问题四：若雨线与跑步方向不在同一平面，模型的变化情况。二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积；总的淋雨量等于人的各个面上的淋雨量之和，再由速度的分解，合成，相对速度等物理知识，确定各面的淋雨量；并且淋雨量与雨速、雨线方向及人奔跑的速度有关；可将人简化为一个长方体，便于模型的建立。针对问题一：不考虑雨的方向，总的淋雨量等于六个面的淋雨量之和。针对问题二、三：由于雨线方向发生改变，雨相对人的速度发生改变，单位面积单位时间淋雨量发生改变，淋雨面积发生变化，此时只有人的正面与顶面或者后面与顶面为淋雨面积，总淋雨量随雨线与人的夹角的变化而变化。针对问题四：在问题二、三的基础上，雨速与人的夹角关系由二维变成三维，可利用问题二、三类比求解。三、基本假设1.雨的密度相同，雨滴的大小形状相同，雨速为常数且方向不变；2.将人视为一个长、宽、高都确定的长方体，人在行走过程中震荡引起的误差可忽略不计；3.人体跑步速度大小与方向恒定，且不受其他因素的影响；4.单位时间内人体接收的淋雨量与雨速成正比；5.降雨量在一定时间内是定值。四、符号说明L：路程；3v:人的速度；u：雨速；a:长方体的高（人的身高）；b：长方体的宽（人的宽度）；c：长方体的长（人的厚度）；h：单位面积单位时间淋雨量；y：人体总淋雨量；S：淋雨面积；t：人在雨中奔跑时间；、、、：雨线与人体的夹角。五、模型建立与求解设某人从甲地奔跑到乙地的路程为L，将此人理想化为一个长方体，宽（人的厚度）为c，长（人的宽度）为b，高（人的身高）为a，雨速为u，人的奔跑速度为v(mvv0)，人的淋雨面积为S，总淋雨量为y，单位面积单位时间淋雨量为h，易知总淋雨量=淋雨面积×单位时间单位面积的淋雨量×淋雨时间。所以Shty（1）其中淋雨时间为vLt（2）问题一:分析题意可知，由于不考虑雨的方向（即雨是垂直落下），此时淋雨面积为长方体的表面积，淋雨时间为路程与人的速度之比，故可得淋雨面积acbcabS2（3）联立（1）（2）（3）式得化简有)(2acbcabvLhy（4）代入具体数据，即可求得人以最大速度奔跑时，跑完全程的总淋雨量。图1图24问题二：如图1，类比于问题一，此时除了淋雨时间没有发生改变，淋雨面积和雨相对人的奔跑速度发生改变，淋雨面积为人的正面与顶面面积之和，雨的相对速度为人的奔跑速度与雨速水平分量之和。淋雨面积ab正S，bcS顶由单位面积单位时间淋雨量与雨速成正比：huhu1cos解得cos1hhsinuvv合，huhv2合解得huvh合2所以thSy11顶thSy22正正顶yyy（5）联立（1）（2）（5）得化简有)sincos(uuvacvLhby（6）对v求导得2'))sin(cos(vuuvacbhLvuabhLy令0'y，解得actan恒成立，淋雨量y随人的速度v的增大而减少，所以当人的奔跑速度最大时，淋雨量最少。问题三：若雨从背面吹来，按水平方向上雨速与人的速度大小关系分两种情况讨论：（1）若人的速度大于等于水平方向上的雨速,即mvvusin淋雨面积ab后S，bcS顶由单位面积单位时间淋雨量与雨速成正比：huhu1cos解得cos1hhsin-uvv合，huhv2合解得huvh合2所以thSy1顶顶thSy2后后后顶yyy（7）类比于问题二，联立（1）（2）（7）式可得总淋雨量为)sin-cos(uuvacvLhby（8）5对v求一阶导得2'))sin(cos(vuuvacbhLvuabhLy当actan，0'y，2arctanac淋雨量y随人的速度v的增大而增大；actan，0'y，acarctan0淋雨量y随人的速度v的增大而减少。（2）若人的速度小于水平方向上的雨速，即sin0uv同理可得)-sincos(uvuacvLhby（9）对v求一阶导得vuabhLvuuvacbhLy-))sin(-cos(2'当actan，0'y，2arctanac淋雨量y随人的速度v的增大而减小；actan，0'y，acarctan0淋雨量y随人的速度v的增大而减小。综上：actan，人的速度为sinuv时，总淋雨量y最小；actan，人的速度最大时mvv时，总淋雨量y最小。问题四：如图2，通过对问题三的分析求解，易知当雨速方向与人的奔跑方向不在一个平面时，此时雨速的分解在三维空间内完成，淋雨面积由人体正面（或后面），侧面和顶面面积三个部分构成。（1）若雨从正侧面吹来淋雨面积bcS顶，ab正S，acS侧在三维空间内分解雨速ucossinuux，sinsinuuy，cosuuz由单位面积单位时间淋雨量与雨速成正比：huhuz1即得cos1hhhuhux2即得cossin2hhhuhuvy3即得huuvhsinsin3thSy1顶顶，thSy2侧侧，thSy3正正6总淋雨量为侧正顶yyyy（10）联立（1）（2）（10）式可得总淋雨量为)sinsincossincos(uuvabacbcvLhy（11）对v求一阶导得2'cossin)sinsin(cos(vacuuvabbchlvuabhLy）令0'y得)cossin(tancbabc恒成立，淋雨量y随人的速度v的增大而减少，所以当人的奔跑速度最大即取mvv时，淋雨量y最少。（2）若雨从后侧面吹来①若人的速度大于等于水平方向上的雨速,即mvvusinsin只有3h发生改变huhuvy3-即得huuvhsinsin-3侧后顶yyyy（12）同理可得，联立（1）（2）（12）总淋雨量化简有：)sinsin-cossincos(uuvabacbcvLhy（13）对v求一阶导2'cossin)sinsin-(cos(vacuuvabbchlvuabhLy）令)cossin(tancbabc，0'y，淋雨量y随人的速度v的增大而增大；)cos-sin(tancbabc，0'y，淋雨量y随人的速度v的增大而减少。②若人的速度小于水平方向上的雨速,即sinsin0uvhuhvuy3-即得huvuh-sinsin3侧后顶yyyy（14）联立（1）（2）（14）式，同理可得)-sinsincossincos(uvuabacbcvLhy（15）对v求一阶导72'cossin)sinsin-(-cos(-vacuuvabbchLvuabhLy）令)cossin(tancbabc，0'y，淋雨量y随人的速度v的增大而减小；)cos-sin(tancbabc，0'y，淋雨量y随人的速度v的增大而减少；综上：当)cos-sin(tancbabc时，人的速度为sinsinuv时，总淋雨量y最小；当)cossin(tancbabc时，人的速度最大时mvv时，总淋雨量y最小；六、模型验证例：假设某人从甲地奔跑到乙地的路程为mL600，将此人理想化为一个长方体，长（人的宽度）为mb5.0，宽（人的厚度）为mc3.0，高（人的身高）为ma6.1，雨速为smu/5，人的奔跑速度为smv/60，人的受雨面积为S，总受雨量为y，单位面积单位时间淋雨量为)/(3hcmh。(1)在不考虑雨的方向且降雨量淋遍全身的情况下，人以最大速度奔跑，试求跑完全程的总淋雨量；(2)雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为30，当速度为多大时，总淋雨量最少；(3)雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为30，当速度为多大时，总淋雨量最少；(4)若雨线与跑步方向不在同一平面，假设雨线与长方体轴夹角为30，雨线所在平面与长方体轴夹角为60，分析模型的变化情况。问题一：将数据代入（4）式得：)(1038.23Ly；问题二：因为0'y恒成立，故淋雨量y随人的速度v的增大而减少；所以当人的奔跑速度最大即smvv/6max时，淋雨量最少，将数据代入（6）式得：)(0012.0Ly；问题三：30时，人的速度大于水平方向上的雨速,即smvm/5.2sin5，16333tanac雨量y随人的速度v的增大而增大，所以当smv/5.2时，淋雨量最小；将数据代入（8）式得到)(1060.24Ly；问题四：①若雨从正侧面吹来830，60时，0'y恒成立，淋雨量y随人的速度v的增大而减少，smvv/6max时，淋雨量最小。将数据代入（11）式得)(0013.0Ly②若雨从后侧面吹来30，60时，人的速度大于水平方向上的雨速,smvm/435sinsin5且)cos-sin(tancbabc即取smv/435时，总淋雨量最少，将数据代入（13）式得)(1077.54Ly。七、模型推广面对生活中雨中奔跑的场景，人在没有带伞的情况下，可考虑降雨量大小和雨线方向，并利用以上数学模型，估算人的速度，使总淋雨量最少。在生活中也可解决许多类似问题，如海中冲浪、北方的沙尘暴等。八、模型评价优点：（1）模型的建立指出了最优解的思想，并且图形的有效利用使模型结果直观明了；（2）模型的假设较为合理，模型建立简单，便于求解。缺点：（1）该模型的假设较为简单，将人理想化为长方体，忽略了降雨密度不均匀和风向不稳定等因素，所计算的总淋雨量会出现误差；（2）在运用模型的过程中，会存在个体差异，如人的速度不是匀速的、人在行进过程中会出现震荡等也会使模型结果存在误差。