小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::SSab③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE△△EDCBAEDCBA图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG；②22:ADEABCSSAFAG△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为ABCDObaS3S2S1S4OFEDCBA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG．(我们通过ABG△把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD中，G12ABSABAB△边上的高，∴12ABGABCDSS△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS△．∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等．长方形的宽88106.4(厘米)．_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D【例2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC．所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．PDCBAABCD(P)PDCBA【解析】（法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米．（法2）连接PA、PC．由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米．【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AB，15AD，四边形EFGO的面积为．OGFEDCBA【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为1120304，所以三角形AOE和DOG的面积之和为312070204；又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为111203024，所以四边形EFGO的面积为302010．另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010．【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2AEED，则阴影部分的面积为．OABCDENMOABCDE【解析】如图，连接OE．根据蝶形定理，1:::1:12COECDECAECDEONNDSSSS，所以12OENOEDSS；1:::1:42BOEBAEBDEBAEOMMASSSS，所以15OEMOEASS．又11334OEDABCDSS矩形，26OEAOEDSS，所以阴影部分面积为：11362.725．【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)丙乙甲HNMJIFEDCBA【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS丙，即400200200AMHNSS丙，所以AMHNSS丙．又ADFAMHNSSSSS乙甲阴影，所以1143400434ADFSSSSS乙甲丙阴影．【例5】如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．GFEDCBAABCDEFG【解析】连接AF，BD．根据题意可知，571527CF；715628DG；所以，1527BECBFFSS，1227BECBFCSS，2128AEGADGSS，728AEDADGSS，于是：2115652827ADGCBFSS；712382827ADGCBFSS；可得40ADGS．故三角形ADG的面积是40．【例6】如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE，::2:5(24):(54)ADEABESSADAB△△，::4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC△△，所以:(24):(75)ADEABCSS△△，设8ADES△份，则35ABCS△份，16ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE．∵3ECAE∴3ABCABESS又∵5ABAD∴515ADEABEABCSSS，∴1515ABCADESS．【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【解析】连接AD．∵3BE，6AE∴3ABBE，3ABDBDESS又∵4BDDC，∴2ABCABDSS，∴6ABCBDESS，5SS乙甲．【例7】如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD，:3:2AEEC，12ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE，::2:5(23):(53)ADEABESSADAB△△::3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC△△，所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS△△，设6ADES△份，则25ABCS△份，12ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGABCDEFHGABCDEF【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在ABC△和BFE△中，ABC与FBE互补，∴111133ABCFBESABBCSBEBF△△．又1ABCS△，所以3FBES△．同理可得8GCFS△，15DH