复数矢量法

第三章平面连杆机构及其设计§3.1平面连杆机构的类型和应用§3.2平面连杆机构的运动特性和传力特性§3.3平面连杆机构的运动功能和设计要求§3.4刚体导引机构的设计§3.5函数生成机构的设计§3.6急回机构的设计§3.7轨迹机构的设计§3.8用速度瞬心法作平面机构的速度分析§3.9用复数矢量法进行机构的运动分析§3.10平面连杆机构的计算机辅助设计§3.11用相对运动图解法作平面机构的运动分析§3.9用复数矢量法进行机构的运动分析§3.9用复数矢量法进行机构的运动分析一、铰链四杆机构二、曲柄滑块机构三、导杆机构解析法一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方程对时间求导得速度方程和加速度方程。由于所用的数学工具不同，解析的方法也不同，下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。复数矢量法复数矢量法是将机构看成一封闭的矢量多边形，并用复数形式表示该机构的封闭矢量方程式，再将矢量方程分别对所建的直角坐标取投影。§3.9用复数矢量法进行机构的运动分析已知：铰链四杆机构各杆杆长分别为l1、l2、l3、l4，原动件1的转角1及等角速度1。试确定构件2、3的角位移、角速度和角加速度。1.位置分析将铰链四杆机构ABCD看成一封闭的矢量多边形，若以l1、l2、l3、l4分别表示各构件矢量，该机构的封闭矢量方程为：4321llll以复数形式表示为：3213421iiiellelel注意：角以x轴的正向逆时针度量。(a)ABDyC1234211x3一、铰链四杆机构一、铰链四杆机构该方程的实部和虚部分别相等，即(b)3342211coscoscosllll332211sinsinsinlll消去2后得：0sincos33CBA按欧拉公式展开得：(a)1112224333(cossin)(cossin)(cossin)lililli一、铰链四杆机构3213421iiiellelel式中系数：114cosllA11sinlB32223222lllBAC又因33232tan(/2)sin;1tan(/2)233231tan(/2)cos1tan(/2)代入到方程中，得到关于3tan(/2)的一元二次方程，由此解出22232arctanBABCAC3解中的正负号，表明有两个解。“+”表示实线所示的装配模式;“-”表示虚线所示的装配模式。ABDyC1234211x3C'一、铰链四杆机构同理(b)式消去3后可得构件2的角位移233233sinarctancosBlAlABDyC1234211x3C'(b)3342211coscoscosllll332211sinsinsinlll一、铰链四杆机构321332211iiiielieliel(c)为消去2，(c)式两边乘以2ie)(33)(22)(11232221iiiielieliel按欧拉公式展开：取实部得：)sin()sin(23321113ll将(a)式对时间求导数得：3213421iiiellelel(a)2.速度分析一、铰链四杆机构3ieilielielii33)(22)(113231)sin()sin(32231112ll角速度为正，表示逆时针，为负表示顺时针。321332211iiiielieliel(c)为消去3，(c)式两边乘以按欧拉公式展开：取实部得：一、铰链四杆机构331222221122223333iiiiilelieleliele2ie323212()()()2221122223333iiilelilliele22222111233323332cos()cos()sin()llll一、铰链四杆机构3.加速度分析将(c)式对时间求导数得：为消去2，上式两边乘以按欧拉公式展开：取实部得：22233111322232223cos()cos()sin()llll同理得：2角加速度的正负号表示角速度的变化趋势，角加速度与角速度同号时，表示加速；异号时表示减速。注意:一、铰链四杆机构已知：曲柄长l1、1，等角速度ω1。求：连杆的2、ω2、2；滑块的xc、vc、ac312sABCx。y211Cx二、曲柄滑块机构二、曲柄滑块机构封闭矢量方程式：12121211221122coscossinsin0ciiccllxlelexllxll滑块的位置：11221122coscossinarcsin()cxllll（a）312sABCx。y211Cx二、曲柄滑块机构1.位置分析(a)式对时间求导，得：121122iiclieliev(a)1212iiclelex(b)2ie－两边乘1221122iiclielive（－）－取实部：11122sin()cosclv11122sin()cosclv式（b)展开后取虚部：111222coscos0ll111222coscosll2.速度分析二、曲柄滑块机构121122iiclieliev(b)式（b)对时间求导得：12222112222iiiclelielea(c)2ie－两边乘，展开后取实部，得：221112222cos()cosclla221112222cos()cosclla3.加速度分析二、曲柄滑块机构12222112222iiiclelielea(c)式(c)展开后取虚部：22111222222sincossin0lll22111222222sinsincoslll二、曲柄滑块机构已知：曲柄长l1、1，等角速度ω1，中心距l4求：导杆的3、ω3、3；三、导杆机构三、导杆机构导杆机构的运动分析见课本P50已知:lAB＝150mm，lBC＝500mm，lDC＝265mm，lBE=250mm，lAF＝600mm，lAD＝210mm，1=45。，BEBC，AFAD，曲柄１的角速度1＝20rad/s。求：4，4，以及VF4F5，aF4F5。xyBACDEGF12'234561324（注：角以x轴的正向逆时针度量）1例1：六杆复合组合机构运动分析例1解：1、按封闭矢量ABCD分析取AD为X轴，AF为Y轴，写出方程：3621llll以复数形式表示为：132()21263iiilelelle按欧拉公式展开得：1112226333cos()sin()(cossin)22(cossin)lililli(a)xyBACDEGF12'23456132416该方程的实部和虚部分别相等，即1122633sincoscosllll112233cossinsinlll方程联立：两边平方，消去32221122633(sincos)cosllll222112233(cossin)sinlll2221122611223(sincos)(cossin)llllll化简得：2222126316112126212212sin2(sin)cos2sincos0llllllllllll222212631612sinCllllll1212cosAll121262(sin)Bllll－令得0sincos22CBABCCBAAtg22222代入数值可以求得2，也可求得3将(a)式对时间求导数得：132()2112233iiilielielie11132223sin()sin()02ll11321223cos()9.745rad/ssin()ll后取虚部得各项乘3ie(b)式(b)取实部得111222333sincoscoslll315.218rad/s3322()22221122223333iiiiiileleileleile整理后得：22211132223222333sin()sin()cos()llll2265.549/rads将(b)式对时间求导数得：2.按封闭矢量ABEFA分析7421llll7AFll其中：74)2('2)2(142ileleleliiixyBACDEGF12'23456132416为求构件4和5的相对速度和加速度，写出ABEFA的封闭矢量方程式。(c)取实部得：112'244sinsincos0lll取虚部得：112'2447coscossinllll求得：7112'24112'2coscostan1.628sinsinlllll458.4534291.319mml式(c)对t求导得：1244()()22112'244450iiiiFFileileileve4-i乘e并取虚部得(d)74)2('2)2(142ileleleliii(c)11142'22444sin()sin()0lll则：48.588rad/s取实部得：11142'22445cos()cos()0FFllv则：454555.139mm/sFFv式(d)对t求导得：1224444()()()22222112'22'2442444544520iiiiiiiFFFFleileleileleiveae4-i乘e并取虚部得2211142'2242'22444454cos()sin()cos()20FFllllv则：245411142'2244242'22422cos()sin()1cos()565.868rad/sFFvllll取实部得：22211142'2242'2244445sin()cos()sin()0FFlllla则：24542017.584mm/sFFa以上实例是就机构在某一个给定位置进行运动分析,若要求机构在多个位置运动分析时,其重复计算的工作量较大,则宜按杆组编制通用子程序用计算机进行计算。例1：六杆复合组合机构运动分析作业习题•题3.1(讲)•题3.2(讲)•题3.5•题3.7•题3.11•题3.12(讲)•题3.17(a、b、c、d)•题3.18第三章平面连杆机构及其设计