风险理论-第2章-个体风险模型

§第2章个体风险模型本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函数。•总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征函数，母函数等。•有别于中心极限定理的近似方法。•风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。2.1引言2.2混合分布和风险本节我们讨论保险风险的一些实例.由于纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数类．根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足离散型的随机变量对于所有的x，我们都有0fx和1xfx，其中求和是对那些满足0fx的所有x求和．如果x是)(xF连接点，则0)0()()(xFxFxf，如果x是)(xF不连接点，则连续型的随机变量分布函数为：xdttfxF)()(fx称为概率密度函数．同样0fx，且1fxdx．•在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离散型要么为连续型，几乎无一例外．•然而保险领域却不总是这样．许多被用来模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分，同时也有离散的、正的跳跃部分．设Z代表某个保单的理赔支付，则有三种情况：•保单合同无理赔，因此Z=0.•保单合同的索赔数额大于最大的保险金额M，则Z=M.•保单合同产生正常的索赔数额，则0ZM.我们能够构造这样一个随机变量，该变量的分布为离散和连续分布的混合分布．（1）设I为示性随机变量，取值为0和1，其中I=1表示某个事件发生．假设事件发生的概率为Pr1,01qIq．（2）若I=1，则索赔Z与X分布相同；若I=0，则Z与Y分布相同，即Z=IX+（1-I）Y假设X,Y与I相互独立，Z的分布函数可以写成：如果假设X是离散随机变量，Y是连续随机变量，这种构造法产生的分布函数Fz是混合分布，（1）Pr0Xz的z处有跳跃，（2）但Fz不是一个阶梯函数，因为在Y的值域上0Fz.为了计算Z的矩、矩母函数tZEe和停止损失保费EZd等等，首先计算Z函数的期望．为此，我们用条件期望的平滑公式：取公式中的WgZ，并用I代替V，其中g是某个函数．再引入hi|EgZIi，我们得到dzzFzgzFzFzgz)(')()]0()([)(•Riemann-Stieltjes积分•混合随机变量的分布)()1()()(zFqzqFzFYXZYIIXZ)1(对于混合随机变量其分布为：例2.2.3（自行车被盗险）考虑自行车保单：在保险事故“自行车被盗”发生时，赔付b给被保险人，同时保险人的保险责任终止．正如大多数寿险保单一样，这种保单的赔付次数为0或1，且事先知道赔付额b．假设保险事故发生的概率为q．可以用XIb理赔支付，其中I为Bernoulli(q)示性随机变量，I=1表示自行车被盗，I=0表示未被盗．可以把X重新表示为10XIbI.现在，假设自行车未锁而被盗，保险人赔付一半．在荷兰，许多自行车被盗保单不区分这种理赔数额的差别．保险人在理赔调查时，只要求被保险人在索赔时呈交所有的原始关键材料．于是XIB，其中B代表随机赔付额．因此Pr10.2,Pr00.8II假设理赔支付X=400和X=200的概率分别为0.05和0.15，则有例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布）假设风险X有如下分布：（1）X的均值是多少？（2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用函数的人，愿意为风险X支付的最大保费为多少？（1）（2）如果被保险人使用的是参数为a=0.01的指数效用函数，则由（1.21）得到最大保费P：例2.2.5（有最大保险金额的责任险）考虑承包责任损失为S的保单．我们希望得到这个保单理赔支付X的均值、方差和分布，其中免赔额为100，最大理赔支付为1000．即：如果100S，则X＝0;如果1100S，则X=1000；否则，100XS.假设发生理赔（S100）的概率是10%，发生大额损失1100S的概率是2%．给定100S1100,S服从U（100,1100）分布．同样的，X可以表示成X=IB，其中I表示理赔支付次数(0或l),B代表理赔支付．因此，0008.0)1000,0(cx10000,]1|),(Pr[2.0]1|1000Pr[xcdxIdxxxBIB为求X的分布函数F，我们有由此得利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB的风险方差可以通过给定I,B的条件分布来计算：记Pr1,qIEB和2VarB，则有|1EXI和|00EXI．得|EXIii，0,1,i类似有2|VarXIii．2.3卷积在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单总理赔S的分布：首先来计算X+Y的分布函数：连续形式的全概率公式如果X和Y是离散型的，则有其中求和是取遍所有使得的x。0Xfx如果X和Y是连续型的，则为求X+Y+Z的分布函数，我们在做卷积运算时所采用的卷积次序无关紧要n个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同边际分布F的n重卷积，记为例2.3.l（两个均匀分布的卷积）设)1,0(~UX和)2,0(~UY相互独立，求X+Y的分布函数．一个集合A的示性函数定义为对任意x,X的分布函数可以表达为)()()(),2[)2,0[yIyyIyFY对任意y,Y的分布函数可以表达为又，进而有0,21,2YFyIyy应用卷积公式得感兴趣的区间是03s．把该区间分为区间0,1,1,2和2,3得例2.3.2（离散分布的卷积）例2.3.3(iid均匀分布的卷积）例2.3.4(泊松分布的卷积)设和相互独立．)(~PoissionX)(~PoissionY对一个非负随机变量X，其矩母函数定义为其中h为某个常数．因为我们特别要用到矩母函数在0点附近的小区间里的取值，所以要求h0．2.4变换随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。如果X和Y相互独立，则对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函数不存在．但是特征函数总是存在的．特征函数定义为利用展开式可以得到随机变量的特征函数与分布函数一一对应。所以X的k阶矩等于概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变量，定义为累积量母函数（cgf）其定义为)(tX关于0点的Taylor展开式的前几项1,2,3!ktkk的系数分别为,EXVarX和3EXEX．由这种方式得到的量是X的半不变量，记为k。随机变量X的偏度定义为2,EXVarX其中累积量母函数、概率母函数、特征函数和矩母函数之间有如下的关系：定理2.5.1（中心极限定理）设12,,,nXXX独立同分布，共同的均值为,方差为2，则2.5近似分布证明我们欲证明累积量母函数的收敛性．令*1/nSXXnn，则当n，有这样，我们就可以用下式来逼近的分布函数：例2.5.3（两种不同的近似）•假设1000个男性年轻人购买了保险期间为一年的保单．•每个投保人在一年内死亡的概率为0.001，且死亡发生的理赔支付为1.•我们要计算这批保单总的理赔支付至少为4的概率。总的理赔支付为B(1000,0.001)分布。（1）采用二项分布直接计算。（此时为精确值0.01893）（2）由于这里n=1000非常大，p=0.001非常小，我们将用Poissonnp分布来近似所要求的概率．用一个连续性的修正。211ESVarS和由得(3)正态近似正态在这种情形下的估计很差！！！选择伽玛分布的理由•伽玛分布包含了常见的一些分布，如指数分布G(1,β)，卡方分布(k/2,1/2)等。•伽玛分布是不对称的，右拖尾分布。与保险精算中的风险的分布往往具有类似的性质。0,0,,)()(1xexxfx2/122,/][,/][XVarXEtt,密度函数：矩及偏度：矩母函数：平移伽玛分布：用0Zx的分布函数来近似S的分布函数。其中Z服从,分布．选择,和0x以使得0Zx与S有相同的前三阶矩．平移伽玛近似可以表述如下：这里;,Gx是伽玛分布函数．为使两分布对应的前三阶矩相同，,和0x的选取必须满足202,x和2.于是例2.5.4（4）如果S服从参数为1的Poisson分布，则1，于是由（2.56）得4,2和01x．因此，Pr3.513.51;4,2SG0.0212．这个结果比CLT近似更接近于真实值．例2.5.5（平移伽玛近似）总的理赔支付S有均值10000，标准差1000和偏度为1．由（2.56）得4,0.002和08000x．因此，=0.0128Pr15.50.0501.0]1.20Pr[28Y~Г（4，0.002)2*0.002Y~χ2(8)如果2,ESVarS和s，则当1s时NP近似对分布函数作展开，考虑分布的偏性而得到的一种近似的计算方法。等价于，当时，1x例2.5.7（5）如果S服从参数为1的Poisson分布，则NP近似得到Pr3.5S120.0228．该近似值也是比CLT近似要好．精确值正态近似Poisson近似伽玛平移NP0.018930.00620.018990.02120.0228例2.5.8（用NP近似重新计算例2.5.5）我们用（2.62）决定资本量，以使资本以95％的概率不小于理赔额S:S的95％的分位点为我们对和应用（2.63）10000,10001正态近似NP伽玛平移0.00130.0110.0102.6应用：最优再保险一个保险人希望对20000份一年期寿险保单寻求一个最佳再保险，这批保单按保险金额可以分为以下三种：每一个被保险人在一年内死亡的概率是0.01kq，保单之间是相互独立的．•保险人希望通过对最佳自留额的选取，即每份保单的最大支付，尽量提高其在业务运营中能够满足其财务职责的概率．•一次理赔中扣除自留额以外的剩余部分是由再保险人支付．•例如，对于1.6的自留额，保险金额为2的某个被保险人死亡，该保险人赔偿1.6，再保险人赔偿0.4．•收到保费后，保险人持有资金B以应付理赔和支付再保险保费．再保险保费是净保费的120%.首先，置自留额为2，从保险人的角度看，保单是如下分布保险人总的理赔数额S的均值和方差分别为由中心极限定理，我们得到成本超过可用资金B的概率（成本等于S加上再保保费）1.20.015000160•当自留额界于2和3之间时，这个概率如何?•对于给定的资金B如何决定自留额以使保险人不破产的概率达到最大?