中考数学-压轴题矩形问题精选解析(一)

1中考数学压轴题矩形问题精选解析(一)例1．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．解析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t根据勾股定理，OP2＝OB2＋BP2即(2t)2＝62＋t2，解得t＝23（t＝－23舍去）．∴点P的坐标为（23，6）（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90°∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴OBPC＝BPCQ由题设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m∴611－t＝t6－m，∴m＝16t2－116t＋6（0＜t＜11）（Ⅲ）点P的坐标为（11－133，6）或（11＋133，6）提示：过点P作PH⊥OA于H易证△PC′H∽△C′QA，∴PHAC′＝PC′C′Q∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m∴AC′＝C′Q2－AQ2＝36－12mABxOyCPB′图②C′QABxOyCPB′图①ABxOyCPB′C′QABxOyCPQBHC2∴636－12m＝11－t6－m∵611－t＝t6－m，即6t＝11－t6－m∴636－12m＝6t，∴36－12m＝t2，即12m＝36－t2又m＝16t2－116t＋6，即12m＝2t2－22t＋72∴2t2－22t＋72＝36－t2，即3t2－22t＋36＝0解得：t＝11±133∴点P的坐标为（11－133，6）或（11＋133，6）例2（在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．解析：（1）∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°∵∠AEH＝∠BEC，∴∠BEC＝45°∵∠B＝90°，∴BE＝BC∵BC＝3，∴BE＝3（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G∴BE＝CG∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC∴CN＝2CG＝2BE∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4∴y＝2x－4（2≤x≤3）（3）∵∠A＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°∴∠AFE＝∠BEC，∴∠HFE＝∠AECAEBNDC图1F(H)ABENDCFH图2AEBFC备用图DABENDCFHG3当△FHE与△AEC相似时①若∠FHE＝∠EAC∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴BCAB＝BEBC∴34＝BE3，∴BE＝94，∴DN＝12②若∠FHE＝∠ECA，作EG⊥CN于G，交AC于O∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC设OE＝OC＝3k，则AE＝4k，AO＝5k∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝58∴AE＝52，BE＝32，∴CN＝3，∴DN＝1综上所述：线段DN的长为12或1ABHNCDFECC12ABHCDFENGO