中考数学压轴题-矩形问题精选解析(二)

1中考数学压轴题矩形问题精选解析(二)例3有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）．（1）如图1，当BE＝2时，求AM的长；（2）当点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．解析：（1）设BM＝a，∵AB＝2，∴ME＝AM＝2－a在Rt△BME中，BM2＋BE2＝ME2∴a2＋2＝(2－a)2，∴a＝12∴AM＝32（2）设BM＝a，∵BE＝x，∴a2＋x2＝(2－a)2∴a＝4－x24，∴AM＝2－4－x24＝4＋x24延长NM交CB延长线于点F∵∠F＝∠ANM＝∠ENM，∴EF＝EN＝AN＝y∴BF＝y－x∵△BFM∽△ANM，∴BFAN＝BMAM∴y－xy＝4－x244＋x24，∴y＝4＋x22x由0＜x≤20＜4＋x22x≤5解得5－21≤x≤2∴函数的定义域为5－21≤x≤2（3）存在∵y＝4＋x22x≥242x·x2＝2≥x，即AN≥BE∴∠DNE≥90°又∵∠AME≥90°，AM＝ME∴若△AME∽△DNE，则DN＝ENABDC备用图ABDCNEM图1ABDC备用图ABDCNEMFABDCNEM2∴∠NDE＝∠NED∵AM＝ME，∴∠MAE＝∠MEA∵AD∥BC，∴∠NDE＝∠DEC∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD∴ABEC＝BECD，∴25－x＝x2解得x1＝4（舍去），x2＝1∴BE＝1∴存在点E，使△AME与△DNE相似，此时BE的长为1