误差理论与数据处理第三章

函数误差随机误差的合成系统误差的合成系统误差与随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定第3章误差的合成与分配合肥工业大学误差理论与数据处理引例一：要求测量一长方体体积，V=abc。Vcba,,？引例二：用普通托盘天平和砝码称一钢球质量m。m人砝平,,？误差合成：多项误差总误差引论直接测量：直接用仪器测得被测量，不需将被测量值与其它实测量值进行某种函数关系的计算。间接测量：根据直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量。dDh),,,(21nxxxfy函数误差：由各个直接测量量误差计算得到的被测量误差。yxx,,21hDd2引论函数系统误差计算1函数随机误差计算2误差间的相关关系和相关系数3第一节函数误差一、函数系统误差的计算nnxxfxxfxxfy2211代数和法其中：,,21xx是各直接测量量的系统误差),,1(/nixfi为各个输入量在该测量点注：某单项误差对总误差的贡献不仅取决于该项误差的大小，还与该项误差的传递系数有关。),,,(21nxxx),,,(21nxxxfy处的误差传递系数。例1：若nnxaxaxay2211nnxaxaxay2211),,,(sin21nxxxf),,,(cos21nxxxf),,,(tan21nxxxf),,,(cot21nxxxfniiixxf1sin1niiixxf12cosniiixxf12sinniiixxf1cos1例2：若一、函数系统误差的计算三、函数随机误差的计算nxnxxyxfxfxf2121目标：确定),,,(21nxxxyf推导：12111121nxnxxyxfxfxf22212221nxnxxyxfxfxfnNNNNxnxxyxfxfxf2121NNiyyi12njiNmxxjixnxxyNxfxfxfxfxfjmimn11222222212)()()(21因jijmimxxijNmxxijNK1njixxijjixnxxyjinxfxfxfxfxf1222222212)()()(21第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的误差相关系数第i个测量值和第j个测量值之间的协方差ixixijjixxijijK方和根法三、函数随机误差的计算1、若各测量值的误差相互独立，则可认为，那么0ij22222221)()()(21nxnxxyxfxfxf2lim2222lim22211lim21lim)()()()()()(nxnnxxyytxftxftxftt当各个测量值的随机误差分布相同,且极限误差的置信概率都相同,则，有nttt12lim22lim222lim21lim)()()(21nxnxxyxfxfxf三、函数随机误差的计算讨论:2、特例：nnxaxaxay2211),,,(sin21nxxxf2222222121nxnxxyaaa22222221)()()(cos121nxnxxyxfxfxf三、函数随机误差的计算四、实例分析mmh50hhlD42用弓高弦长法间接测量大工件直径，如图。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，mml500经检验部门检定，已知mmh1.0mml1.0limmml1mmh05.0lim设测量误差相互独立，均为正态分布，求D测量结果解：1）建立大直径测量数学模型2）若不考虑测得值误差，计算直径D0mmhhlD1300505045004220hl,3）计算D的系统误差24)14(2250050hlhflh5250050hllflhmmllfhhfD4.7４）计算D的随机误差５）写出测量结果mmhflfhlD3.1)()(2lim22lim2limmmmmDDDD3.16.12923.1)4.71300(lim0误差=测得值-真值四、实例分析(一）相关系数对函数误差的影响2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx反映了各随机误差分量相互间的线性相关性。函数随机误差公式ij五、误差见的相关关系和相关系数(二）误差间的线性相关关系指误差间具有线性依赖关系，有强有弱。11Kξηξηξηξηξη五、误差见的相关关系和相关系数ρ=1或ρ＝-1ρ=0.5或ρ＝-0.5ρ=00ij断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量ixjx与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关ixjx1、直接判断法(三）相关系数的确定五、误差见的相关关系和相关系数或断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系；ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然；与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关。ixjx1ij1ij五、误差见的相关关系和相关系数2、试样观察法和简略计算法（1）观察法（2）简单计算法nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3n4n10（3）直接计算法根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数：(,)ijxx,ikjkxx五、误差见的相关关系和相关系数22()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxxxxxxx、分别为、的算术平均值ixjxikxjkx（4）理论计算法五、误差见的相关关系和相关系数根据概率论和最小二乘法直接求出。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响。随机误差的合成形式包括：第二节随机误差的合成一、标准差合成211()2qqiiijijijiijaaa误差传播系数12,,,qaaa由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和iiiyaiaiiiafx第二节随机误差的合成当误差传播系数，且各相关系数均可视为0的情形若各个误差互不相关，即相关系数21()qiiia21qii0ij1ia简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差。第二节随机误差的合成二、极限误差合成单项极限误差:1,2,...,iiikiq单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:kiik合成标准差合成极限误差的置信系数k合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijakaakkk第二节随机误差的合成根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成。各个置信系数、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关。ikk对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同。对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同。注意：第二节随机误差的合成211()2qqiiijijijiijaaa0ij当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布。合成极限误差：若：各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成qiiia12)(第三节系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：合成方法：按照代数和法进行合成riiia系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除。二、未定系统误差的合成定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围e的系统误差。特征：1）单项系统误差不具有抵偿性，若干项综合作用时，就具有一定的抵偿作用。2）当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布。表示符号：极限误差：e标准差：u第三节系统误差的合成1、标准差合成完全可以采用随机误差的合成公式。若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as，则合成后未定系统误差的总标准差u为:第三节系统误差的合成sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12当ij=0时则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：iiiute2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:si,,2,1tueisjijijiijsiiiuuaauate1122若总的未定系统误差极限误差表示为：第三节系统误差的合成sjijjiijiijsiiiiteteaateate1122siiieae12由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为：0ij第三节系统误差的合成一、按极限误差合成测量过程中，假定有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差。它们的误差值或极限误差为：qsreee,,,,,,,,,2121211、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：Rttetqiiisiiirii12121总R为各个误差之间的协方差之和。第四节系统误差和随机误差的合成当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：qiisiiriie12121总一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：qiisiie1212总第四节系统误差和随机误差的合成2、n次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。qiisiine12121总总极限误差变为：第四节系统误差和随机误差的合成二、按标准差合成测量过程中，假定有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，它们的标准差分别为：qsuuu,,,,,,21211、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：Ruqiisii1212第四节系统误差和随机误差的