中考数学压轴题-矩形问题精选解析(三)

中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)例5如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y＝kx交折线A－B－C于点P，点A关于OP的对称点为A′．（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；（2）若经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；（3）如图2，当点P在AB边上，点A′在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有_________个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．解析：（1）当点A′恰好在CB边上时，连接A′O、A′P，如图1∵OA′＝OA＝5，OC＝3∴CA′＝OA′2－OC2＝52－32＝4∴A′B＝CB－CA′＝5－4＝1设PA＝x，则A′P＝PA＝x，BP＝3－x在Rt△A′PB中，A′B2＋BP2＝A′P2∴12＋(3－x)2＝x2，解得x＝53，∴P（5，53）∴k＝yPxP＝13（2）连接A′O、A′P、A′A，设A′A交射线OP于点D，如图2则OP垂直平分A′A∵经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点∴由抛物线的对称性可知A′O＝A′A＝2A′D∴∠A′OD＝30°，∴∠AOD＝∠A′OD＝30°∴PA＝33OA＝533，∴P（5，533）∴k＝yPxP＝33可得∠A′OA＝60°，∴△A′OA是等边三角形∴点A′的坐标为（52，532）设抛物线的解析式为为y＝a(x－52)2＋532BACxOyPA′图1BACxOyPA′图2EPFPBACxOy备用图BACxOyPA′图1BACxOyPA′图2D把O（0，0）代入上式，得0＝a(0－52)2＋532解得a＝235∴抛物线的解析式为为y＝－235(x－52)2＋532（3）假设存在实数k，使△A′EF≌△BPF，如图3∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP∴A′E＝BP，A′F＝BF设A′E＝BP＝a，A′F＝BF＝b则A′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－aCE＝5－(3－a－b)－b＝2＋a在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2∴32＋(2＋a)2＝(5－a)2，解得a＝67∴PA＝3－67＝157，∴P（5，157）∴k＝yPxP＝37（4）以OP为直径的⊙M与矩形OABC最多有6个公共点提示：∵∠OAP＝90°∴当点P在AB边上时，⊙M经过O、A、P三点，如图4∵∠COP＜90°，∴⊙M必与OC边交于另一点又∵⊙M与BC边最多有2个公共点∴⊙M与矩形OABC最多有6个公共点当点P在BC边上时，情况亦然①当⊙M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5则MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3∵M是OP的中点，∴E是OA的中点∴ME＝12PA设PA＝x，则ME＝12x，DM＝12OP＝12x2＋52∵DM＋ME＝DE，∴12x2＋52＋12x＝3解得x＝1112，∴P（5，1112）∴k＝yPxP＝1160②当⊙M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图6设CP＝x，则DM＝12x，ME＝12OP＝12x2＋32∵DM＋ME＝DE，∴12x＋12x2＋32＝5BACxOyPA′图3EPFPBACxOyP图4MBACxOyP图5DPMEPBACxOyE图6DPPPM解得x＝9120，∴P（9120，3）∴k＝yPxP＝6091又∵当点P与点B重合时，⊙M经过O、A、B、C四点，此时k＝35∴当⊙M与矩形OABC有6个公共点时，k的取值范围是：1160＜k＜6091且k≠35例6如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；（3）若点P为线段BC上一点，且使得∠APA′＝60°，则满足条件的点P有几个？请你选择一个点P求△APA′的面积．解析：（1）易知点A的路径是以O为圆心、以OA长为半径、圆心角为90°的一段圆弧∵AB＝1，BC＝3，∴AC＝2，OA＝1∴点A在旋转过程中所走过的路径的长为：π×1×90180＝π2（2）如图，将矩形ABCD绕它的对称中心O旋转90°，扫过的面积是图中阴影部分的面积∵AB＝1，A′D′＝BC＝3，∴A′G＝DG＝BE＝C′E＝3－12∵AB＝1，AD＝3∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∠OFC＝∠A′C′D′＝∠BDC＝60°∴∠A′OD＝∠BOC′＝30°∴S阴影＝S⊙O－2(S扇形BOD－2S△BOE)＝S⊙O－2S扇形BOD＋4S△BOE)＝π×12－2×π×12×30360＋4×12×3－12×12＝56π＋3－12（cm2）（3）满足条件的点P有2个提示：在BC上取点P1，使BP1＝33则∠AP1B＝60°，P1H＝3－33－3－12＝36＋12A′H＝3－3－12＝3＋12∴tan∠A′P1H＝A′HP1H＝3，∴∠A′P1H＝60°∴∠AP1A′＝60°DBACOA′B′C′D′DBAOCC′D′A′B′EFOGDBACC′D′A′B′EP1P2HG在BC上取点P2，使P2H＝A′G＝3－12则△A′P2H≌△AA′G，∴A′P2＝A′A＝A′H2＋P2H2＝2BP2＝3＋12－3－12＝1＝AB，∴AP2＝2∴AP2＝A′P2＝A′A，∴△AP2A′是等边三角形∴∠AP2A′＝60°又∵△AP2A′的外接圆与BC最多有2个交点∴满足条件的点P有2个若求△AP1A′的面积∵S梯形ABHA′＝12×(1＋3＋12)×3＋12＝32＋34，S△ABP1＝12×1×33＝36S△A′P1H＝12×(36＋12)×3＋12＝36＋14∴S△AP1A′＝S梯形ABHA′－S△ABP1－S△A′P1H＝36＋12若求△AP2A′的面积则S△AP2A′＝12×2×32×2＝32