2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)

全国中考信息资源门户网站中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)例1如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝30°，E为AB上一点，且AE＝4cm．动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2？（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴△EAM∽△EBP.∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝tcm，∴AM＝12tcm由S△EAM＝3cm2、∠MAE＝30°、AE＝4cm，得12×12t×2＝3，解得t＝6∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2（2）∵AD∥BC，∴S梯形PCDM＝12(12－t＋12＋12t)×6＝72－32t∵S△MQD＝12(12＋12t)×12t＝18t2＋3t，S△PCQ＝12(12－t)(12－t)×12＝t2－24t＋1444∴S＝S梯形PCDM－S△MQD－S△PCQ＝－38t2＋32t＋36∵S＝－38t2＋32t＋36＝－38(t－2)2＋752∴当t＝2时，△MPQ的面积最大，最大值为752（3）存在，t的值有两个∵△PQE的外心恰好在它的一边上，∴△PQE为直角三角形∵∠PQE＜∠CQE＜90°，∴只能∠EPQ＝90°或∠PEQ＝90°选择求∠EPQ＝90°时的t值（若求∠PEQ＝90°时的t值，则计算相当复杂）∵BP＝DQ，BC＝DC，∴PQ∥BD∴PE⊥BD∵AC⊥BD，∴PE∥AC又∵BA＝BC，∴BP＝BP＝8cmABDQCPEMABDQCPEMABDCE备用图全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载∴当t＝8s时，∠EPQ＝90°例2如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．解析：（1）证明：连接AC∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴∠BAC＝60°，∠B＝60°∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC又△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF（2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为43由（1）知，S△ABE＝S△ACF∴S四边形AECF＝S△ABC＝34×42＝43而△CEF的面积发生变化，其最大值为3∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝43－34AE2当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin60°，即AE＝4×32＝23∴S△CEF的最大值为43－34(23)2＝3ACBFEDACBFED