(浙教版)2020中考数学二轮专项复习导练案---三角形全等

（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等1/24（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等【考点整理】1．全等图形及全等三角形全等图形：能够_________的两个图形称为全等图形．全等三角形：能够_________的两个三角形叫全等三角形．2．全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边_________，对应角________；拓展：全等三角形的对应边上的高_______，对应边上的中线_________，对应角的平分线_____．3．三角形全等的判定对应相等的元素三角形是否一定全等一般三角形两边一角两边及其夹角一定(SAS)两边及其中一边的对角不一定两角一边两角及其夹边一定(ASA)两角及其中一角的对边一定(AAS)三角不一定三边一定(SSS)直角三角形斜边直角边一定(HL)4.三角形的稳定性三角形具有稳定性实际就是利用的“SSS”．5．角平分线的性质性质：角平分线上的点到角两边的___________；判定：角的内部，到角两边的距离相等的点在____________．6．命题与证明命题：判断某一件事情的句子叫做命题．组成：命题通常写成“如果…，那么…”的形式．命题的真假：命题有真命题和假命题；定理是用推理的方法判断为正确的命题．互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等2/24个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题；互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．【智慧锦囊】(1)改写命题时，要明确命题的条件和结论，有时语言要重新组合，可添上命题中被省略的词语；(2)用举反例的方法说明一个命题是假命题，就是举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子，举反例也可以通过画图的形式说明．【解题秘籍】1．证明的基本方法综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法；分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题的思路方法；两头“凑”法：综合应用以上两种方法才能找到证题思路的方法．2．反证法先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立．(1)有些用直接证法不易证明的问题可尝试考虑用反证法；(2)证明唯一性和存在性问题常用反证法．3．全等三角形证明规律(1)出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；(2)过角平分线上一点向角两边作垂线；(3)公共边是对应边，公共角是对应角；(4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形．【易错提醒】1．两边和其中一边对角对应相等的两个三角形不全等，即“SSA”不全等．2．满足下面条件的三角形也是全等三角形：(1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等3/24(5)有两边和其中一条边上的高对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三条边上的高对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等．【题型解析】1.三角形全等的证明【例题1】（2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．2.三角形全等的开放探究型问题【例题2】（2019•湖南邵阳•3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）3.利用全等三角形设计测量方案【例题3】2019•浙江绍兴•12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等4/244.角平分线【例题4】如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等5/24【同步检测】一、选择题：1.（2019·贵州安顺·3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠DB．AC＝DFC．AB＝EDD．BF＝EC2.（2019•山东青岛•3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°3.（2019▪广西池河▪3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（）A．1B．2C．3D．44.（2019•山东临沂•3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．25.（2019•山东省滨州市•3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等6/24COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：6.（2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．7..(2019，四川成都，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.8.（2019•浙江嘉兴•4分）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为cm2．三、解答题9.（2018·浙江临安·6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等7/2410.（2019•甘肃武威•10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．11.（2019，山东枣庄，10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等8/24（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝AM．12.（2019•河北省•9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等9/24（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．【参考答案】【考点整理：1.重合,重合，相等，相等，相等，相等，相等；5.距离相等，角平分线；【题型解析】1.三角形全等的证明（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等10/24【例题1】（2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【考点】全等三角形的判定与性质【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°2.三角形全等的开放探究型问题【例题2】（2019•湖南邵阳•3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD．（不添加任何字母和辅助线）（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案三角形全等11/24【分析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SAS、AAS证明两三角形全等．【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；3.利用全等三角形设计测量方案【例题3】2019•浙江绍兴•12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝13