实数完备性定理的证明及其应用

实数完备性定理的证明及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解.关键词：完备性；区间套；连续性CompletenessofthesystemofrealnumbersandapplicationsAbstract:Completenessofthesetofrealnumbersisitsbasiccharacter,anditisstablebackgroundofcalculus.Itcanbedescribedanddepictedindifferentanles,sothereareconsiderablefundamentaltheoremsaboutit.Itcontainssixbasictheorems.Thattheessayusesthreedifferentwaysindividuallytoprovetheequivalenceofthesixprincipletheoremsissystematicdiscussionaboutit,andmakesusacquiremorerecongnitionandunderstanding.KeyWords:Completeness;Interval;Continuity引言众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关，如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如，单调有界的有理数列11nn就不存在极限，因为它的极限是e，是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础，他在整个数学分析中占据着重要位置.1.实数完备性定理的定义1.1确界原理设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必下确界.1.2单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.1.3区间套定理设,nnab为一区间套：1.11,,,1,2,.nnnnababn2.lim0nnnba，则在实数系中存在唯一的一点,,1,2,.nnabn即,1,2nnabn.1.4有限覆盖定理设,H是闭区间,ab的一个无限开覆盖，即,ab中每一个点都含于H中至少一个开区间,内，则在H中必存在有限个开区间来覆盖,ab.1.5聚点定理和致密性定理（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有S中无限多个点（本身可以属于S，也可以不属于S）.（致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1.6柯西收敛准则数列na收敛的充要条件是：0,NN，只要,nmN，恒有||nmaa，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.2.实数完备性定理的证明定理1（确界原理）设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必下确界.证明我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下界的数集必有下确界可类似证明.为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数.由于S有上界，故可找到非负整数n，使得（1）对于任何xs有1xn；（2）存在0as，使0an.对半开区间,1nn作10等分，分点为.1,.2,,.9nnn，则存在0,1,2,,9中的一个数1n，使得（1）对于任何xs有11.10xnn；（2）存在1as，使得11.ann.再对半开区间111.,.10nnnn作10等分，则存在0,1,2,,9中的一个数2n，使得（1）对于任何xs有1221.10xnnn；（2）存在2as，使212.annn.继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何1,2,,k存在0,1,2,,9中的一个数kn，使得（1）对于任何xs有121.10kkxnnnn………(1)；（2）存在kas，使12.kkannnn.将上述步骤无限地进行下去，得到实数12.knnnn，以下证明supS，为此只需证明：（i）对一切xs有x；（ii）对任何，存在as，使a.倘若结论（i）不成立，即存在xs使x，则可找到x的k为不足近似kx，使121.10kkkxnnnn，从而得121.10kkxnnnn，与不等式（1）矛盾，于是（i）得证.现设，则存在k使的k位不足近似kk，即12.kknnnn.根据数的构造，存在as使ka，从而有kka，即得到a，说明（ii）成立.定理2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.证明不妨设na为有上界的递增数列，由确切原理，数列na有上确界，记supnaa，下面证明a就是na的极限，事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列na中某一项Na，使得Naa，又由na的递增性，当nN时有Nnaaa，另外，由于a是na的一个上界，故对一切na都有naaa，所以当nN时有naaa，这就证得limnnaa，同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限极为它的下确界.定理3（区间套定理）设,nnab为一区间套：1.11,,,1,2,.nnnnababn2.lim0nnnba，则在实数系中存在唯一的一点,,1,2,.nnabn即,1,2nnabn（2）证明由于1221nnaaabbb，则知na为递增有界数列，依单调有界定理，na有极限，且有,1,2,nan（3）同理，递减有界数列nb也有极限，并按区间套的条件2.有limlimnnnnba（4）且,1,2,nbn（5）联合（3）、（5）即得（2）式，最后证明满足（2）式的是唯一的，设数也满足,1,2,nnabn，则由（2）式有||,1,2,nnban，由区间套的条件2.得||lim()0nnnba，故有.定理4（有限覆盖定理）设,H是闭区间,ab的一个无限开覆盖，即,ab中每一个点都含于H中至少一个开区间,内，则在H中必存在有限个开区间来覆盖,ab.证明用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖,ab.将,ab等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为11,ab，则11,,abab，且111()()2baba，再将11,ab等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为22,ab，则至少2211,,abab，且2221()()2baba，重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,nnab，它满足11,,,1,2,nnnnababn1()0,()2nnnbaban即,nnab是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点,,1,2,nnabn，由于H是,ab的一个开覆盖，故存在开区间(,)H，使(,)，于是知，当n充分大时有,(,)nnab，这表明,nnab只需用H中的一个开区间(,)就能覆盖，与挑选,nnab时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖,ab.定理5（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有S中无限多个点（本身可以属于S，也可以不属于S）.（致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1.（聚点定理）证明因S为有界点集，故存在0M，使得,SMM，记11,,abMM，先将11,ab等分为两个子区间，因S为无限聚点，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为22,ab，则1122,,abab，且22111()2babaM，再将22,ab等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为33,ab，则2233,,abab，且33221()22Mbaba，将此等分子区间无限地进行下去，得到一个区间列,nnab，它满足11,,,1,2,nnnnababn，20()2nnnMban即,nnab是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点.由区间套定理知，存在唯一的一点,,1,2,nnabn，且对任给的0，存在0N，当nN时有,(,)nnabU，从而(,)U内含有S中无穷多个点，则知为S的一个聚点.2.（致密性定理）证明设nx为有界数列下分两种情况讨论：（i）nx中含有无穷多个相等的项，记作12knnnxxx，则常数列knx收敛；（ii）nx不含无穷多个相等的项，记/nSxnN，则S为有界无限点集，由聚点定理知S至少有一个聚点，由聚点的等价定义知，存在S中各项互异的点列knnxxS，且,()knxk即limknkx则得以一敛子列knx收敛于.定理6（柯西收敛准则）数列na收敛的充要条件是：0,NN，只要,nmN，恒有||nmaa，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.证明必要性设limnnaA，有数列极限定义，对任给的0,存在0N，当,mnN时有||,||22mnaAaA，因而||||||22mnmnaaaAaA充分性先证明该数列必定有界，取01，因为nx满足柯西条件，所以00,NnN，有01||1nNxx，令00121max||,||,,||,||1NNMxxxx，则对一切n，成立||nxM，由致密性定理，在nx中必有收敛子列：limknkx，由条件，0,N，当,nmN时有||2nmxx，在上式中取kmnxx，其中k充分大，满足knN，并且令k，于是得到||2nx，即得到数列nx收敛.要证明实数完备性定理的等价性,还必须由定理6证明出定理1.用数列的柯西收敛准则证明确界原理证明设S为非空有上界数集，由实数的阿基米德性知，对任何正数，存在整数k，使得k为S的上界，而(1)k不是S的上界，即存在S，使得(1)k，分别取1,1,2,nn，则对每一个正整数n，存在相应的n，使得n为S的上界，故存在aS，使得1nan（6），又对正整数,mm是S的上界，故有ma，结合（6）式得1nmn，同理有1mnm，从而有11||max,mnmn