实数完备性定理的证明及应用

实数完备性定理的证明及应用学生姓名：xxx学号：20085031072数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：xxx职称：副教授摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性TestificationandapplicationaboutRealNumberCompletenessAbstract:Completenessofthesetofreelnumbersisitsbasiccharacter,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Itcanbedescribedanddepictedindifferentangles,Toprovetheequivalenceofthesixprincipletheoremissystematicdiscussionaboutitandmakeusacquiremorerecognitionandunderstanding.Atthesametime,thetheoremofcompletenessofrealnumberstestpfyiestheseveralqualitiesofthecontinuousfunctioninclosedinterval.KeyWords:sigmacompleteness;fundamentaltheorem;equivalence引言在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.1.基本定义[1]定义1设S是R中的一个数集．若数满足：(1)对一切xS，有x，即是S的上界；1(2)对任何，存在xS，使得x，即又是S的最小上界，则称数为数集S的上确界，记作=supS．定义2设S是R中的一个数集．若满足：(1)对一切xS，有x，即是S的下界；(2)对任何，存在xS，使得x，即又是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作infS．定义3设闭区间列,nnab具有如下性质:(1),nnab11,nnab，1,2,n；(2)lim()0nnnba，则称,nnab为闭区间套，或简称区间套．定义4[2]设S为数轴上的点集，定点(它可以属于S，也可以不属于S)．若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点．其等价定义：对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即,uS，则称为S的一个聚点．定义5设S为数轴上的点集，H为开区间的集合(即H的一个元素都是形如,的开区间)．若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S．若H中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限(有限)开覆盖．2.六个定理及证明定理1维尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass聚点定理)直线上的有界无限点集S至少有一个聚点．定理2柯西收敛准则(又叫实数完备性定理)数列na收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一个自然数N，2使得,nmN时，都有mnaa．定理3确界原理有上(下)界的数集必有上(下)确界．定理4单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限．定理5区间套定理若,nnab是一列闭区间，(1,2,)n，又设(1),nnab11,nnab，(1,2,)n；(2)lim()0nnnba，则存在唯一的,nnab，(1,2,)n．定理6有限覆盖定理(也叫海涅-波莱尔定理)设,ab是闭区间，H为,ab的一个开覆盖，则在H中必存在有限个开区间，它构成,ab的开覆盖．3.六个定理等价的证明以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性．维尔斯特拉斯聚点定理柯西收敛准则确界原理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理维尔斯特拉斯聚点定理．3.1维尔斯特拉斯聚点定理柯西收敛准则证明若对0，N0，当,nmN时，nmaa．取=1．则1N0，当n1N时，有1nNaa1，则na1+1Na．令M=max1112,,,,1NNaaaa，则对n，都有naM．从而数列na有界．(1)若na看作点集，是一个有限点集，至少有一项ia重复出现无穷多次，就以ia为项构成子列，则ia是常数列，必收敛．记limknikaa，则3kknnnnaaaa．即limnna．(2)若na构成无穷点集，由聚点定理na必有一个聚点．由聚点定义2，必存在{}kna{}na，且limknka则kknnnnaaaa．即limnna．3.2柯西收敛准则确界原理证明设S为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数，在整数k，使得k，为S的上界，而(1)k不是S的上界，即在S，使得(1)k．分别取1,1,2,nn．则对每一个正整数，存在相应的n，使得n为S的上界，而1nn不是S的上界，故存在S使得1nn．(1)又对正整数m，m是S的上界．故有m结合(1)式得1nmn．同理有1mnm，从而得∣m－n∣＜11max,mnmn．于是对任给0，存在0N，使得当,mnN时，有mn4由柯西收敛准则，数列｛n｝收敛，记limnn(2)现在证明就是S的上确界．首先，对任何S和正整数n，有，由(2)式得．即是S的一个上界．其次，对任给的0，由1n→0（n→∞）及(2)式，对充分大的n同时有12n，n＞2．又因为n1n不是S的上界，故存在S，使＞1nn结合上式22所以为S的上确界．同理可证S为非空下界数集，则必存在下确界．3.3确界原理单调有界定理证明不妨设na为有上界的递增数列．由确界原理，数列na有上确界．a=supna．下面证明a就是na的极限．事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列na中某一项Na，使得Naa．又由na的递增性，当nN时有Nnaaa．另一方面，由于a是na的一个上界，故对一切na都有naaa，所以nN，时有aaan．这就证得limnnaa．同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界．3.4单调有界定理区间套定理[7]证明由闭区间列,nnab的性质知，1221nnaaabbb．则na为递增有界数列．依单调有界定理，na有极限，且有na，(1,2,)n．同理，递减有界数列nb也有极限，并按区间套的条件lim()0nnnba有5limlimnnnnba，且nb，(1,2,)n；综上nnab．最后证明是唯一的．设数也满足nnab，(1,2,)n；则由nnab，nnab可知lim0nnnba，故有．3.5区间套定理有限覆盖定理证明用反证法．假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖,ab，将,ab等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个区间为11,ab，则11,ab,ab，且112baba．再将11,ab等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个区间为22,ab，则22,ab11,ab，且2222baba．重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,nnab．它满足,nnab11,nnab，(1,2,)n；0()2nnnbaban，即,nnab是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖．由区间套定理，存在唯一的一点,nnab，(1,2,)n；由于H是,ab的一个开覆盖，故存在开区间,H，使,．于是，由区间套定理的推论，当n充分大时有,nnab,．6这表明,nnab只须用H中的一个开区间,来覆盖，与挑选,nnab时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾．以而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖,ab．3.6有限覆盖定理聚点定理证明若S为R上的有界无穷点集，则存在0M，使S,MM．对任意x,MM，任意0，记,,iiHuxxMM，显然H覆盖了,MM．由有限覆盖定理，存在,,,1,2...iiHuxxMMik也覆盖了,MM．即1,kiiux,MMS．由于S是无穷点集，至少有一个0ix，使得0,iux含有S中无穷多个点．则0ix是S的聚点．4.实数完备性定理的应用以上我们对实数完备性定理进行了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连续函数性质的应用做一些举例证明．例1证明有界性定理．证明（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性，对没一点'[,]xab，都存在领域''(;)xUx及正数'xM，使得''',(;)[,].xxfxMxUxab考虑开区间集'''(;)[,],xHUxxab显然H是[,]ab的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集覆盖了[,]ab，且存在正整数12,,,,kMMM使得对一切(;)[,]iixUxab有(),ifxM7(1,2,,)ik．令1max,iikMM则对任何[,],xabx必属于某(,)().iiiUxfxMM这就证得在[,]ab上有界．例2证明最大最小值定理最大值最小值定理若函数f在,ab上连续，则f在,ab上有最大值与最小值．证明（应用确界原理）由于已证得f在,ab上有界，故由确界原理，f的值域,fab有上确界，记为M．以下我们证明：存在,ab，使fM．倘若不然，对一切[,]xab都有()fxM．令1(),[,]()gxxabMfx易见函数g在,ab上连续，故g在,ab上有上界.设G是g的一个上界，则10(),[,].()gxGxabMfx从而推得1(),[,].fxMxabG但这与M为,fab的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[,]ab，使()fM，即f在,ab上有最大值．同理可证f在,ab上有最小值．总结本文围绕着解决极限存在性之一中心问题，以聚点定理理为出发点，讨论了实数完备性的六个基本定理，着重讨论了以下几个方面：1、基本定理的等价性各定理虽然形式不同，但从本质上讲，都是从不同侧面反映了实数的完备性，且它们相互等价．82、基本定理的特征确界原理——分析、函数论中的重要角色，量变到质变的转折点，客观事物性质的数学表达；单调有界定理——几何意义十分明显；区间套定理——将“整体”局部化，“化整为零”；聚点定理——“化整为邻”的另一途径，整体性态—收敛子列—局部性态；有限覆盖定理——闭集的本质属性，局部到整体；柯西准则——从运算上讲，极限在实数集合内是封