误差理论与数据处理-第四章-测量不确定度

1第四章测量不确定度2教学目标本章介绍用测量不确定度来评定和表示测量结果的基本概念和方法，要求正确掌握测量不确定度的若干名词术语，会分析不确定度的来源，掌握标准不确定度的两类评定、合成标准不确定度的求取方法，还应学会正确表示测量结果的方式。3教学重点和难点不确定度的基本概念A类不确定度评定B类不确定度评定自由度有效自由度合成不确定度扩展（展伸）不确定度测量结果的表示方法4第一节研究不确定度的意义5一、研究不确定度的必要性误差概念和误差分析在用于评定测量结果时,有时显得既不完备，也难于操作。一种更为完备合理、可操作性强的评定测量结果的方法。寻求诞生测量不确定度6二、不确定度的由来1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确定度关系。1978年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国和国际组织的意见。1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1（1980）。1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生产、科学研究中的不确定度指南。1993年出版了《测量不确定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement，简称GUM）。7第二节不确定度的基本概念8一、不确定度的定义测量不确定度指测量结果的变化的不肯定，是表征测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用于表征被测量值的分散性。9不确定度的定义(续)说明：该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度。该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定度分量该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行方差和协方差合成得到。所得该参数的可靠程度一般可用自由度的大小来表示该参数是用于完整地表征测量结果的10三、不确定度评定方法的分类A类评定指用对样本观测值的统计分析进行不确定度评定的方法。B类评定指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。11四、几个相关的名词与概念标准不确定度用标准差表示测量结果的不确定度，一般用符号u来表示。对于不确定度分量，常在u上加小脚标进行表示，如u1，u2，…ui…un等。合成（标准）不确定度当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或）协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果随这些量变化的情况而定。用符号uc表示。12扩展不确定度规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U表示。包含因子为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号k来表示。在国内，有的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。几个相关的名词与概念(续）13不确定度与误差关系共同点：都是评价测量结果质量高低的重要指标，都可以作为测量结果精度的评定参数。14不确定度与误差关系（续）不同点：误差是以真值和约定真值为中心，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心，因此，误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，可以定量评定。在分类上，误差按自身特性和性质可分为随机误差、系统误差和粗大误差，但各类误差之间并不存在绝对界限，故在分类计算时不易准确掌握；测量不确定度不按性质分类，而是按评定方法分类，分为A评定和B类评定，可按情况加以选择使用。这就无需考虑其影响因素及来源，只考虑影响结果的评定方法，从而简化了分类，便于评定和计算。15第三节标准不确定度评定16一、A类评定方法unuixi采用统计分析的方法评定标准不确定度，用实验标准差或样本标准差表示。单次测量值作为被测量的估计值x当用n次测量的平均值作为被测量的估计值单次测量的标准差n次测量的标准差计算标准差的方法：贝塞尔公式，极差法等xiu17二、B类评定方法B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要181、B类评定的方法（1）若由先验信息给出测量结果的概率分布，及其“置信区间”和“置信水平”()pauxk置信区间的半宽度置信水平的包含因子p（2）若由先验信息给出的测量不确定度U为标准差的k倍时()Uuxk（3）若由先验信息给出测量结果的“置信区间”及其概率分布()Uuxk置信区间的半宽度置信水平接近1的包含因子19几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（1）舍入误差舍入误差的最大误差界限为0.5（末），按均匀分布考虑，故标准不确定度为0.5()()0.3()3ux末末（2）引用误差测量上限为的级电表，其最大引用误差限（即最大允许不确定度）为mxs()%mUxxs按均匀分布考虑，故标准不确定度为%()3mxsux20（3）示值误差某些测量仪器是按符合“最大允许误差”要求而制造的，经检验合格，其最大允许误差为a按均匀分布考虑，故标准不确定度为()0.63auxa（4）仪器基本误差设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能达到的最大误差限为a按均匀分布考虑，故标准不确定度为()0.63auxa几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计21（5）仪器分辨力设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为按均匀分布考虑，故标准不确定度为（6）仪器的滞后滞后引起的标准不确定度为x2xa()0.3323xxaux()0.323xxux几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计(续）22各类分布和包含因子分布名称方差k正态σ23-2.58均匀(矩形）a2/31.73反正弦a2/21.41三角a2/62.45直角2a2/92.12椭圆a2/42双三角a2/21.4123正态分布下置信概率p与包含因子间关系P(%)5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.576324设校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电阻，测量结果服从正态分布，置信水平为99％。求其标准不确定度。例4-1【解】根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽度129a查表得计算10.00074129sR60.299k615.4960.2129pskaRu25三、自由度26研究自由度的意义由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈大，标准差愈可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定质量不确定度的评定质量标准差的可信赖程度自由度27自由度的概念对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中n个独立测量个数减去待求量个数1。对某量X进行n次独立重复测量，用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。情形1情形2自由度计算总和中独立项个数，即总和的项数减去其中受约束的项数。对于不同计算标准差的方法，其自由度是不同的28A类评定的自由度最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式1n２34567891015201234567891419nBessel公式最大误差法极差法1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.50.91.82.73.64.55.36.06.87.510.513.1几种A类评定不确定度的自由度10.929自由度的概念221uuuuu按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度（或）eff情形3自由度其中，为评定不确定度u的标准差为评定u的相对标准差u30B类评定的自由度对于B类评定的不确定度，其自由度一般通过相对标准不确定度来折算。00.100.200.250.300.400.5050128632自由度相对标准不确定度与自由度的关系相对标准不确定度31四、应用举例32用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量10次，得到的测量列如下（单位：mm）75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量及其自由度。例4-2【解】本例估计的是重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量，可根据已知样本数据进行Ａ类评定33按极差法求取极差maxmin0.09mmnxx查表得，103.08d则标准差0.0292mmnnwud查表其自由度7.5用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。210.008250.0303mm1101niivusn由贝塞尔公式其自由度1019计算结果别8.0极7.5最6.934第四节合成不确定度35一、合成公式合成标准不确定度当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。2112mmciijijiijuuuu第ｉ个标准不确定度分量第ｉ和第j个标准不确定度分量之间的相关系数不确定度分量的个数合成标准不确定度cuijmiu36间接测量的合成标准不确定度公式输出量估计值的标准不确定度y输入量估计值和的标准不确定度ixjx函数在处的偏导数，称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传递系数；12(,,...,)nFXXX12(,,...)nxxxiiFax和在处的相关系数iXjX(,)ijxx()cuy()iux()jux22112211()()2()()()2()()mmciijijiijiijmmiiijijijiijFFFuyuxuxuxxxxauxaauxux（）标准不确定度传递公式ij37不确定度分量合成公式22()()()iiiiiFFuyuxuxxx直接测量的不确定度分量直接测量的不确定度分量的合成公式211()()2()()mmciijijiijuyuyuyuy记()iuy38简单的合成公式当和相互独立时,ixjx221()()mciiiFuyuxx0ij标准不确定度传递公式39二、有效自由度合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，一般用来表示。eff设被测量有个影响测量结果的分量，记为，当各分量均服从正态分布，且相互独立时，可根据韦尔奇-萨特思韦特（Welch-Satterthwaite）公式来计算其合成标准不确定度的有效自由度。441()()ceffmiiiuYvuYv12mYYYYmiY40三、应用举例41例4-4某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度和有效自由度。来源序号12345合成结果基准尺读数电压表电阻表温度1.01.01.42.02.05104161不确定度符号数值符号数值自由度3.51u2u3u4u5ucu12345eff7.842【解】2222212345222221.01.01.42.02.03.5cuuuuuu根据题意，计算合成标准不确定度有效自由度4444443.57.81.01.01.42.02.05104161effv计算方法43测量环路正弦交变电位差幅值V，电流幅值I，各重复测量5次，得到如下表所示的数据，相关系数ρ=－0.36，试根据测量值，求阻抗R的最佳值及其合成标准不确定度。例4-55.007次数123454.9945.0054.9904.99919.63919.663电位差幅值V电流幅值mA19.64019.68519.67544【解】根据算术平均值和标准差的计算公式得114.999VniiVVn1119.6604mAniiIIn211()0.0072V1niiVVVn（）()()()0.0032VVuVVn211()0.