2第一章：随机误差1

第二章等精度测量的随机误差主要内容：概述：产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原则。等精度测量的随机误差，服从正态分布随机误差的特征，数字特征。算术平均值原理、残余误差，算术平均值的计算校核。测量的标准差。单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。随机误差的正态分布曲线，经验分布曲线，定义、概念、绘制，正态分布曲线，概率函数、特性，正态分布密度函数的概率积分，置信概率、计算。主要内容：单次测量的精度指标：标准差及估计，平均误差，几率误差，极限误差，别捷尔斯公式。多次次测量的精度指标，算术平均值的分布，算术平均值的精度指标。中心极限定理，评定非正态分布随机误差的方法。几种常用的非正态分布：均匀分布，三角形分布，反正弦分布，偏心分布，绝对正态分布，分布、t分布、F分布。2第一节随机误差概述一、随机误差产生的原因随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。1.测量装置方面的因素；2.环境因素；3.人员因素。例题举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源。结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的随机误差来源。150次的面形峰谷值数据0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.121数据特点数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。统计直方图统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的特征。对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。0.1140.1160.1180.120.1220.1240.1260.128010203040500024.01207.0x激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源测量装置方面的因素氦氖激光源辐射激光束的频率不够稳定造成激光波长的漂移。CCD光电探测器采集信号及其电信号处理电路造成干涉图像信号的随机噪声。离散化采样误差、各次装夹定位不一致。测量环境方面的因素放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动。仪器所在实验室气流和温度的波动。空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电压的微小波动。操作人员方面的因素操作人员的装夹调整不当引起被采集的测量干涉图像质量低、条纹疏密不当。采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小造成较大的离散化采样误差。减小随机误差的技术途径(1)测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源;(2)测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差;(3)测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对激光器预热等。戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的话，适当增加重复测量次数取算术平均值等。视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声。第二节等精度测量的随机误差一、等精度测量定义：在多次重复测量（测量列）中，每一个测得值都是在相同的条件下获得的，各测得值具有相同的精度，可用同一标准差来表示，这样的测量叫等精度测量。二、随机误差定义：当对同一量值进行多次等精度测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而这些误差出现具有随机性，而随着测量次数的增大，误差又具有统计规律性，这样的误差叫随机误差。这种统计规律称为误差分布律。随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。服从正态分布随机误差的特征1．有界性随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界限。2．对称性在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。3．抵偿性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性——抵偿性。4．单峰性即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。服从正态分布随机误差的特征随机误差的数字特征算数平均值标准差第三节算术平均值11niixxn作为测量结果的最佳估计。在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值12,,...,nxxx一、算术平均值的意义无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为011nniiiixnx根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有011niixxxn最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性。满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大或然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小。该测量事件发生的概率最大。算术平均值的计算inxnxxxnx1)...(121或)(11CxmnCxmnxiiii其中，mi为测量值xi出现的次数，C为任意常数。在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有算术平均值：则称为残余误差简称残差。二、残差xxviiniixnx11由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。（一）残差具有低偿性――残余误差代数和等于零021nivvvvmin222212nivvvv残差两个重要特性残余误差可求，又称实用误差公式。•残差具有两个重要特性。（二）残差平方和为最小算术平均值的计算校核1.残差代数和：xnxvii当为未经凑整的准确数时，则有x0iv利用这个性质，可用来校核、的计算正确性。xiv算术平均值的计算校核在一般计算中，往往会遇到小数位数较多或除不尽的情况，需对数据进行截取与凑整，存在舍入误差ixnx1nxnnxviii1即：算术平均值的计算校核经分析证明，用此法进行校验的规则为：（1）残差代数和应符合：当求得的为准确数，为零。xnxixiv当求得的为非准确数，。0ivxxnxi当求得的为非准确数，。0ivxxnxi算术平均值的计算校核（2）残差代数和应符合：当n为偶数时，Anvi2当n为奇数时，Anvi5.02式中A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。x例题：测量某直径11次，得到结果如表所示，求算术平均值并进行校核。序号12000.07+0.00322000.05-0.01732000.09+0.02342000.06-0.00752000.08+0.01362000.07+0.00372000.06-0.00782000.05-0.01792000.08+0.013102000.06-0.007112000.07+0.003mmli/mmvi/74.22000111iil003.0111iiv算术平均值为：解：0673.20001174.2200011111mmlxii067.2000x取用第一种规则校核则有：mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003.0737.2200074.2200011111111用第二种规则校核则有：mmAnmmvmmAnii005.05.02003.0001.055.02115.02111故用两种规则校核皆说明计算结果正确。第四节测量的标准偏差（标准差）一、单次测量的标准差测量的标准偏差=标准差=均方根误差比较下列两组测得值的精度：第一组20.000519.999620.000319.999420.0002第二组19.999020.000619.999520.001519.9994结论：第一组的精度高。标准差σnn22221采用二次矩来描述测得值的精度，等精度测量列中，单次测量的标准差σ：)(n应指出：标准差不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，σ的大小只说明，在一定条件下，等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ一般都不等于σ，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差σ的概率分布，在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差σ也不相同。例题:已知被测轴的直径约定真值X0=40+0.0035mm。用量块作标准，在立式光学计上重复测量260次，并用xi表示第i种测量结果（单位：微米）。ni表示xi出现的个数。有关数据列于下表，求单次测量的标准差。nnii124401.05000.0325.02009.04001.03004.0(2601[21)]2209.0125.02904.01016.01116.02126034.11≈0.2μm解：二、用残差计算标准差的估计值残差ν的两个重要特征：1.一组测得值残差之和等于零；2.一组测得值残差的平方和为最小。真