2020届中考数学考点限时集训：全等三角形

考点限时集训(十九)__全等三角形[时间：40分钟分值：100分]一．选择题(每题5分，共25分)1．[2019·晋江一模]如图19－1，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的(D)A．点AB．点BC．点CD．点D图19－1图19－22．如图，AD是△ABC的高，下列不能使△ABD≌△ACD的条件是(B)A．BD＝CDB．∠BAC＝90°C．∠B＝∠CD．AB＝AC3．[2018·金华、丽水]如图19－3，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是(C)A．55°B．60°C．65°D．70°【解析】∵△EDC是由△ABC顺时针旋转90°得到，∴△EDC≌△ABC，∠ACE＝90°，∴∠DCE＝∠ACB＝20°，AC＝EC，∴△ACE是等腰直角三角形，则∠E＝45°，∴∠ADC＝∠DCE＋∠E＝65°.图19－3图19－44．[2018·湖州]如图19－4，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是(C)A．AE＝EFB．AB＝2DEC．△ADF和△ADE的面积相等D．△ADE和△FDE的面积相等【解析】∵△CDE沿DE折叠得△FDE，∴∠C＝∠DFE，EC＝EF，DC＝DF，∵D是BC中点，∴BD＝DC＝DF，∴∠B＝∠DFB，∴∠C＋∠B＝∠DFE＋∠DFB，即∠EAF＝∠EFA，∴AE＝EF，A选项正确；∵AE＝EF＝EC，BD＝DC，∴DE是△ABC的中位线，∴AB∥DE，AB＝2DE，B选项正确；∵AB∥DE，即BF∥DE，∴△ADE和△FDE的面积相等，D选项正确．无法证明AD∥FE，故C选项不一定正确．5．如图19－5，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变．其中正确的个数为(B)A．4B．3C．2D．1图19－5第5题答图【解析】如答图，过点P分别作OA，OB的垂线段PE，PF，∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠AOB与∠EPF互补，已知“∠MPN与∠AOB互补”，可得∠MPN＝∠EPF，∴∠MPE＝∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，可得PE＝PF，即可证得Rt△PME≌Rt△PNF.PM＝PN，①正确；OM＋ON＝OE＋OF，∵OE＋OF保持不变，∴OM＋ON的值也保持不变，②正确；由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等，③正确；对于△PMN与△PEF，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，∴底边MN与EF不可能相等，∴MN的长是变化的，④错误．故正确的有3个．二．填空题(每题5分，共25分)6．[2018·金华、丽水]如图19－6，△ABC的两条高线AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是__答案不唯一，如CA＝CB，CE＝CD等__．图19－6图19－77．如图19－7，△ABC≌△ADE，点E在BC边上，∠CAE＝20°，则∠AED的度数为__80°__．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠AE＝AC，∠AED＝∠C，∵∠CAE＝20°，∴∠AEC＝∠C＝80°，∴∠AED＝80°.8．如图19－8，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC，其中正确结论的序号是__①②③__．【解析】由△ABO≌△ADO得AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∠BAC＝∠DAC，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，CB＝CD，∴①②③正确．图19－8图19－99．如图19－9，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝40°，则∠P的度数为__100°__．【解析】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，∴△AMK≌△BKN(SAS)，∴∠AMK＝∠BKN，∵∠A＋∠AMK＝∠MKN＋∠BKN，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝100°.10．[2018·泰州]如图19－10，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为__270°－3α__．(用含α的式子表示)图19－10证明：∵∠ACD＝90°，∠D＝α，∴∠DAC＝90°－α，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC＝90°－α，∵∠ABC＝90°，E为AC的中点，∴BE＝AE＝EC，∴∠EAB＝∠EBA＝90°－α，∴∠CEB＝180°－2α，∵E，F分别为AC，CD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF＝∠DAC＝90°－α，∴∠BEF＝180°－2α＋90°－α＝270°－3α.三．解答题(共50分)11．(10分)[2018·嘉兴]如图19－11，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．图19－11证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°.∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．12．(10分)如图19－12，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．图19－12解：(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF.13．(15分)[2018·舟山]如图19－13，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图19－13证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．14．(15分)如图19－14，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F.(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD＝2BF＋DE.图19－14第14题答图解：(1)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴△BAC≌△DAE(SAS)；(2)∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由(1)知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝135°；(3)证明：如答图，延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，FB＝FG，∠AFB＝∠AFG，AF＝AF，∴△AFB≌△AFG(SAS)，∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA＝∠DCA，∠CGA＝∠CDA，AG＝AD，∴△CGA≌△CDA(AAS)，∴CG＝CD，∵CG＝CB＋BF＋FG＝CB＋2BF＝DE＋2BF，∴CD＝2BF＋DE.