2017全国卷3数学(文)

试卷第1页，总5页2017全国卷3（文）1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．已知4sincos3，则sin2=（）A．97-B．92-C．92D．975．设x，y满足约束条件326000xyxy，则z=x-y的取值范围是（）A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]6．函数f(x)=51sin(x+3)+cos(x−6)的最大值为（）A．65B．1C．35D．157．函数y=1+x+2sinxx的部分图像大致为（）A．B．试卷第2页，总5页C．D．8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．29．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π2D．π410．在正方体1111ABCDABCD中，E为棱CD的中点，则（）A．11AEDC⊥B．1AEBD⊥C．11AEBC⊥D．1AEAC⊥11．已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A．63B．33C．23D．1312．已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a=（）A．12B．13C．12D．113．已知向量(2,3),(3,)abm，且a⊥b，则m=.试卷第3页，总5页14．双曲线22219xya（a0）的一条渐近线方程为35yx，则a=.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________。16．设函数10()20xxxfxx，，，，则满足1()()12fxfx的x的取值范围是__________。17．设数列na满足123(21)2naanan.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan的前n项和.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．试卷第4页，总5页19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.21．已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．试卷第5页，总5页（1）讨论f(x)的单调性；（2）当a﹤0时，证明243）（fax．22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,xtykt（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.（2）若不等式()fx≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围.答案第1页，总4页2017全国卷3（文）参考答案BCAABADDBCAC11、以线段12AA为直径的圆是222xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离222abdaab，整理为223ab，即22222323aacac，即2223ca，63cea，故选A.12、2112xxxxaee，设11xxgxee，211111111xxxxxxegxeeeee，当0gx时，1x，当1x时，0gx函数单调递减，当1x时，0gx，函数单调递增，当1x时，函数取得最小值12g，设22hxxx，当1x时，函数取得最小值-1，若0a，函数hx，和agx没有交点，当0a时，11agh时，此时函数hx和agx有一个交点，即1212aa，故选C.13、214、515、7516、由题意得：当12x时12221xx恒成立，即12x；当102x时12112xx恒成立，即102x；当0x时1111124xxx，即104x；综上x的取值范围是1(,)4.17．（1）∵123(21)2naanan，①∴2n时，)1(2)32(3121nanaan②①-②得，2)12(nan，122nan，又1n时，21a适合上式，∴122nan.答案第2页，总4页（2）由（1）121121)12)(12(212nnnnnan，∴1221211)121121()5131()311(125321nnnnnnaaaSnn.18．（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于C25，从表中可知有54天，∴所求概率为539054P.（2）Y的可能值列表如下：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）Y100100300900900900低于C20：100445022506200y；)25,20[：300445021506300y；不低于C25：900)46(450y∴Y大于0的概率为519016902P.19．（1）证明：取AC中点O，连OBOD,∵CDAD，O为AC中点，∴ODAC，又∵ABC是等边三角形，∴OBAC，又∵OODOB，∴AC平面OBD，BD平面OBD，∴BDAC.（2）设2CDAD，∴22AC，22CDAB，又∵BDAB，∴22BD，∴ABDCBD，∴ECAE，答案第3页，总4页又∵ECAE，22AC，∴2ECAE，在ABD中，设xDE，根据余弦定理DEADAEDEADBDADABBDADADB22cos222222xx22222222)22()22(2222222解得2x，∴点E是BD的中点，则ACEBACEDVV，∴1ACEBACEDVV.20．（1）设12,0,,0AxBx，则12,xx是方程220xmx的根，所以1212,2xxmxx，则1212,1,112110ACBCxxxx，所以不会能否出现AC⊥BC的情况。（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心00,Exy，则12022xxmx，由EAEC得22221212100+122xxxxxyy，化简得1201122xxy，所以圆E的方程为22221112222mmxy，令0x得121,2yy，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为123，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由122xx可知原点O在圆内，由相交弦定理可得122ODOCOAOBxx，又1OC，所以2OD，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为3OCOD，为定值.21．（1）)0()1)(12(1)12(2)('2xxxaxxxaaxxf，当0a时，0)('xf，则)(xf在),0(单调递增，答案第4页，总4页当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）由（1）知，当0a时，)21()(maxafxf，121)21ln()243()21(aaaaf，令tty1ln（021at），则011'ty，解得1t，∴y在)1,0(单调递增，在),1(单调递减，∴0)1(maxyy，∴0y，即)243()(maxaxf，∴243)(axf.22．（1）直线1l的普通方程为(2)ykx，直线2l的普通方程为2xky，消去k得224xy，即C的普通方程为224xy.（2）3l化为普通方程为2xy，联立2224xyxy得32222xy，∴222182544xy，∴3l与C的交点M的极径为5.