东北大学流体力学与传热学-7

工程流体力学与传热学信息学院·次英第七章非稳态导热§7.1非稳态导热的基本概念1、定义物体的温度随时间而变化的导热过程2、分类1)周期性非稳态导热：2)非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值物体的温度随时间而作周期性变化例如：建筑物一昼夜的温度变化，电冰箱的间断冷却，回转式空气预热器例如：工件的淬火，铸件的冷却，热动力设备起停时的部件的温度变化),,,(zyxft设一平壁，初值温度t0，令其左侧的表面温度突然升高到t1，并保持不变，而右侧仍与温度为t0的空气接触。3、非稳态导热温度变化过程（定性）平壁内温度场的变化过程：①紧靠平壁左侧的区域温度首先上升，其余部分仍保持原来的温度，经过某一时刻，壁内温度分布如图中曲线HBD；②随着时间的推移，温度变化涉及的范围逐渐扩大，平壁内自左向右，温度变化一层一层地传播到平壁的右侧表面。到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高图中曲线HCD、HD③在一定时间之后，右侧表面的温度也逐渐升高曲线HE、HF④最后，经过足够长的时间，壁内温度分布将变成一条直线HG。（若λ=const，则HG是直线）。非稳态导热过程结束，进入稳态导热过程a非正规状况阶段（右侧面不参与换热）上述非稳态导热过程中，存在着两个不同阶段：b正规状况阶段（右侧面参与换热）温度变化从边界面逐渐深入到物体内部，各点温度随时间的变化率各不相同温度分布主要受初始温度分布控制特点：温度分布主要取决于边界条件及物性特点：物体内各点温度随时间的变化率具有一定的规律非稳态导热过程总会经历：4、特点非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等原因：在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量平壁在升温过程所积聚的能量正规状况阶段非稳态导热非正规状况阶段（起始阶段）新的稳态§7.2非稳态导热的数学模型1、数学模型假定物体的热物理特性参数均为常数初始条件：边界条件：（第三类边界条件比较常见）),,()0,,,(zyxfzyxt)()(fwwtthnt说明：n是换热表面的外法线，h，tf是已知的。cztytxtct2222222、物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题设厚为的平板，初始温度为t0，表面传热系数h，导热系数λ，将其突然至于温度为的流体中冷却。2t根据平板导热热阻和表面对流传热热阻相对大小的不同，h11)h12)相当与h13)h1温度场变化分三种情况毕渥数hhBi1毕渥数的物理意义其大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律3、非稳态导热要解决的问题不同时刻各点的温度分布如：热应力达到稳定后某时刻所需的时间如：淬火过程传热量应用较少tiBiB00Bi1223121201010000tt0tt0tt§7.3零维问题的分析法——集中参数法1、集中参数法定义忽略物体内部导热热阻，认为物体温度均匀一致，此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关。0iB)(ft忽略物体内部导热热阻的简化分析方法2、集中参数法温度场的分析解假设：有一任意形状的固体，其体积为V，表面积为A，并具有均匀的初始温度t0。在初始时刻，突然将其置于温度恒为的流体中，设固体与流体间的表面传热系数h，固体的物性参数均保持常数。ttt0试根据集中参数法确定物体温度随时间的依变关系cztytxtct222222cddtttAhV解：①建立非稳态导热数学模型方法一、根据非稳态、有内热源的导热微分方程根据假设，物体内部热阻很小，忽略不计。物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是时间的一元函数，与空间无关其中Φ应看成是广义热源，而且发生热交换的边界不是计算边界（零维问题，无几何边界），因而界面上交换的热量应折算称整个物体的体积热源∵物体被冷却，故Φ应为负值tt0)(tthAddtcV瞬时时刻导热微分方程方法二、根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程物体与环境的对流散热量＝物体内能的减少量)(tthAddtcVddtVctthAttddVchAcVhAetttt00②物体温度随时间的依变关系引入过余温度则有00)0(tt控制方程初始条件对上述数学描写分析求解，得：AV则其中的指数可变化如下：式中的具有长度的量纲，并定义为特征长度AVlc02222FBilahllchlcVAAhVcVhAcccc2claFo傅里叶数}(0FoBicVhAee采用集中参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指数曲线关系变化，而且开始变化较快，随后逐渐变慢。指数函数中的具有与相同的量纲，称为时间常数，用表示cVhA1hAcVc1)当时间时，物体的过余温度将到了初始过余温度的36.8％2)c)(0)(VchAhAettddtVc][)()(cVhAcVhAeVcttdetthAdt100003、热量计算导热物体的瞬时热流量为：0时刻之间所交换的总热量为：4.集中参数法适用条件对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件，则物体中各点过余温度的差别小于5%MhBAVi1.0)(一温度计的水银泡呈圆柱状,长20mm,内径为4mm,初始温度为t0,今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度。设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h=11.63W/(m2.K),水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计。水银的物性参数如下:试计算1)此条件下温度计的时间常数;2)插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几?例7-1KmW36.10313110mgkKkgJkc138.0讨论：由此可见，当用水银温度计测量流体温度时，必须在被测流体中放置足够长的时间，以使温度计与流体之间基本达到热平衡。稳态过程可以允许非稳态过程水银温度计的热容量过大时，无法跟上流体温度的变化，响应特性很差，需采用时间常数很小的感温元件，如：直径很小的热电偶物理意义FoBi,hlhl1Bi物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻＝无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点的温度就越接近周围介质的温度。allao22F面积上所需的时间l边界热扰动扩散到换热时间＝2Bi越小，意味着内热阻越小或外热阻越大。Bi0，集中参数法①边界条件的简化（导热问题归纳三类A、B、C）②导热物体内部热阻的简化处理（集中参数法）③导热物体形状的简化（从实物形状中抽象简化出了无限大平板，无限长圆柱等概念）3)建立数学方程，求得通解，与定解条件（初始，边界条件）——特解数学方法（建立数学模型）求解传热问题1)常对实际问题适当简化建立数学模型求解a.精确解b.近似解c.数值解简化涉及：2)坐标系的选择——不同形状选用相应坐标系§7.4典型一维物体非稳态导热的分析解所谓一维：对平板，温度仅沿厚度方向变化对圆柱与球，温度仅沿半径方向变化1、无限大平板的分析解求：在非稳态过程中板内的温度分布2厚度为的无限大平板，初始温度为初始时间将它放置于温度为的流体中，而且，流体与板面间的表面传热系数h为一常数。0tttt0已知：初始条件：导热微分方程：假设：平板两边对称换热，板内温度分布必以其中心截面为对称面，只要研究厚为的半块平板的情况即可边界条件：)0,0(22xxtaddt0,0ttxtthxtxxt),(0,0引入过余温度tt方程化为：)0,0(22xxaddtt00,0xhxxx,0,0边界条件a边界条件b把有两个变量的偏微分方程的解表示成两个函数的乘积，每一个函数各与一个变量有关，从而将偏微分方程化为两个常微分方程。变量分离法主要思路：设：)()()(TxXxddTX于是2222dxXdTx222211dxXdXddTTdxXdTddTX只为τ的函数只为x的函数上式要成立只能等于常数，设为DDddTT1积分得：DeCT1D的取值：若D0，T将随着时间的增大而急剧增大，并趋于无限大若D＝0,T等于常数，意味着温度将不随时间而变化不可能常数D只能为负值。设：2D21eCT)sin()cos(32xCxCX)]sin()cos([2xBxAe于是得出：3121CCBCCA用初始条件和边界条件确定A、B、β00)]}0cos()0sin([{220BeBBAexx边界条件a0,0xx)cos(2xAe边界条件bxhx,)cos())sin((22xAhehxAexixBhctgxAhexAe)()cos())sin((22iBctg)(特征方程特征方程的解就是交点所对应的β的数值iByctgy21)()(1ctgy是以π为周期的函数，故解有无穷多个β1δ，β2δ……βnδ称为特征值iBy2当时，直线与横坐标重合，特征值β1δ＝π/2,β2δ=3π/2……βnδ=(2n-1)π/2iB当时，直线与纵坐标重合，特征值β1δ＝0,β2δ=π……βnδ=(n-1)π0iBiBy2在给定Bi准则的条件下，对应于每一个特征值，温度分布的特解为：22221)cos(),(......)cos(),()cos(),(222111nexAxexAxexAxnnn当常数A1，A2…An为任何值时，各个特解都满足导热微分方程和边界条件；但是上述特解中的任何一个都与初始时刻的实际温度值不等。需用初始条件确定Ai该导热问题的通解为各个特解的线性叠加：导热微分方程和边界条件都是线性的——温度和温度的各阶导数项的系数都与温度无关12)cos(),(nnnnexAx常数An由初始条件确定00,0tt12)cos(),(nnnnexAx1)cos()0(nnnxA上式两端同乘，并在〔0，δ〕范围内对x积分)cos(xm100)cos()cos()cos()0(nmnnmxxAx020)()(cos)(0)cos()cos(nmdxxnmdxxxnmn所以：0002021)2())2cos(1(211)()cos()0()(cos)cos()0(nnnnnnnnnxdxxdxdxxdxxA)cos()sin()sin(2)0(21))2sin(2(211)sin()0(00nnnnnnnnnxxx102)cos()sin()cos()sin(2),(nnnnnnnexx平壁内任意瞬间的温度分布此处βn为特征值令nn110222cossin)cos(sin2cossin)cos(sin2),(nFnnnnnnnnnnnonnexexx因此是F0，Bi和函数，即0),(xx),,(),(0xBFfxio