单自由度系统受迫振动

1.3单自由度系统受迫振动受迫振动——系统在外界激励下产生的振动激励形式——可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为令得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。齐次方程通解:x1(t)非齐次方程特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x1(t)－有阻尼自由振动运动微分方程的解：特解为:)sin()(2tBtx有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解由二部分组成：＊第一部分振动的频率是自由振动频率；由于阻尼的作用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动d＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。特解为:代入方程解得thtBtBtBnsin)sin()cos(2)sin(22thtBtBnsin)cos(2)sin()(22222224)(nhB222tannh幅频特性与相频特性引入量纲为1的参数β，s，ζ----称为静力偏移β为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。s是激励频率与固有频率之比，称为频率比。β−s称为幅频特性曲线θ−s称为相频特性曲线结论：（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出β(s)曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当)(10s激振频率相对于系统固有频率很低1响应的振幅A与静位移B相当（2）当1s激振频率相对于系统固有频率很高响应的振幅很小（3）在以上两个领域对应于不同ζ值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（4）当)(10s对应于较小ζ值，β(s)迅速增大当ζ=0β(s)→∞共振振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左max振幅无极值（6）当1,2/1单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性222)2()1(1)(sss记:211sQ品质因子在共振峰的两侧取与2/Q对应的两点21,12带宽Q与的关系0Q阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭)sin(0tkFx单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性以s为横坐标画出θ(s)曲线212arctan)(sss相频特性曲线（1）当s1（ωω0）相位差θ≈0位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s1（ωω0）θ≈π位移与激振力反相（3）当s≈1ω≈ω0共振时的相位差为，与阻尼无关2【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求当电机以匀角速度ω旋转时系统的稳态振动的位移幅值。【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点系设电机轴心在t瞬时相对平衡位置的坐标为x偏心块的坐标为x+esinωt，质点系动量定理在x方向的投影表达式为kxxctexdtdmdtxdm)sin(222221整理后得系统的微分方程为temkxxcxmmsin)(2221temkxxcxmmsin)(2221引入微分方程化为标准形式解得令解得其幅频特性和相频特性曲线【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为。求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。texesin【解】以物块的静平衡位置为坐标原点，考察其相对地球的运动（绝对运动），运动微分方程可写为令mkn2mc2则微分方程可写成)sin(cos2sin222thtetexxxnn其中2224neh22tann微分方程特解：)sin(2tBx回代得：sin)cos()cos()sin()sin()cos(2)sin(22ththtBtBtBn由前计算化简可得系统的幅频特性和相频特性为代入引入量纲为1的量:系统的幅频特性为2222)2()1()2(1ssseB系统的相频特性为223)2(121arctansss系统的幅频特性和相频特性曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加回顾：显含t，非齐次微分方程tFkxxcxmsin0非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减持续等幅振动暂态响应稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况，假设激励为正弦激励tFkxxmsin000)0(,)0(xxxxtBxxsin2020kFB00stsBtctctxsin1sincos)(20201通解：齐次方程通解非齐次方程特解21,cc由初始条件确定单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段tsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc0)0(xx20021ssBxctsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000初始条件响应自由伴随振动强迫响应以系统固有频率振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段tsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000初始条件响应自由伴随振动强迫响应初始条件为零tsBtsBstxsin1sin1)(202自由伴随振动强迫响应由于系统是线性的,也可以利用叠加定理求解000sin(0),(0)mxkxFtxxxx20000(0),(0)xxxxxx200sin(0)0,(0)0xxFtxx010000()cossinxxtxtt002022()sinsin11BsBxtttss通解:000120000220()()()cossinsinsin11xBsBxtxtxtxttttss初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段000sin(0),(0)mxkxFtxxxx000120000220()()()cossinsinsin11xBsBxtxtxtxttttss即使在零初始条件下,也有自由振动与受迫振动相伴发生.实际中总是存在着阻尼的影响,因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减,进而消失,最终系统为稳态响应.单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例:计算初始条件,以使的响应只以频率振动.tFkxxmsin0解:000120000220()()()cossinsinsin11xBsBxtxtxtxttttsskFB00s如果要使系统响应只以为频率振动必须成立:00x00201xBss初始条件:00x00021Bsxs例:计算初始条件,以使的响应只以频率振动.0cosmxkxFt单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段解:000120000220()()()cossinsinsin11xBsBxtxtxtxttttss全解010202()cossincos1Bxtctctts由0(0)xx01021Bcxs求一阶导数01002002()sincossin1Bxtctctts由0(0)xx020xc0000002200000000220()()cossincos11cossincoscos11BxBxtxtttssxBBxttttss200/cx0000000220()cossincoscos11xBBxtxttttss单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段如果要使系统响应只以为频率振动初始条件:00x0021Bxs单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近000sin(0),(0)mxkxFtxxxx10s令21s为小量000120000220()()()cossinsinsin11xBsBxtxtxtxttttss考虑稳态响应tsBtsBstxsin1sin1)(202ttBtx00cossin2)(单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段ttBtx00cossin2)(可看作频率为，振幅按规律缓慢变化的振动0tB0sin2这种在接近共振时的特殊振动现象称为拍拍的周期为：0/图形的包络线：tB0sin2单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段ttBtxcossin2)(0当0ttBtx00cos2)(随着t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的响应曲线即使是无阻尼系统，要达到理论上的无穷大振幅，也需要无限长的时间。所以，如果机器的工作运转速度设计在共振转速以上，穿越共振去并没有很大困难，只要穿越的快些就好。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm利用前述相同的方法，可得)sin(]sin)cossin(cos[sin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应自由伴随振动强迫响应mk0kmc2201d0skFB0222)2()1(1ss212arctanss单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段)sin(]sin)cossin(cos[sin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应自由伴随振动强迫响应经过充分长的时间，作为瞬态响应的前两种振动将消失，只剩下稳态强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段)sin(]sin)cossin(cos[sin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件0)0(,0)0(xx)sin(]sin)cossin(cos[sin)(00tBtsteBt