第二章单自由度系统自由振动)

第一章概论一、振动及其研究的问题1、振动2、振动研究的问题振动隔离在线控制工具开发动态性能分析模态分析第一章概论二、振动分类及研究振动的一般方法1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别2、研究振动的一般方法（1）理论分析方法建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应（2）实验研究方法（3）理论与实验相结合的方法三、汽车上的振动问题四、简谐振动、谐波分析及频谱分析1、简谐振动2、谐波分析3、频谱分析①函数表示法)2sin()2sin()sin(ftAtTAtAx)2sin()cos(tAtAx)sin()sin(22tAtAx②旋转矢量表示法（1）简谐振动cossincossinititetitetitcos()sin()zAtiAt()itzAe③复数表示法在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大小成正比，始终指向静平衡位置。()Im()sin()itxAeAt()()2ititxiAeAe2()2()ititxAeAe④简谐振动的合成01212()coscos2sinsin22aftatatbtbt01sin()2jjjaAjt01=cos()sin()2jjjaajtbjt（2）周期振动的谐波分析()()0,1,2,ftftnTn2T基频一个周期函数如果满足如下条件，就可以展成傅立叶级数。（1）在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点的左右极限都存在；（2）在一个周期内，具有有限个极大、极小点。002()TaftdtT02()cos()TjaftjtdtT02()sin()TjbftjtdtT22jjjAabarctanjjjab其中对方波信号0002()2TtFftFTtT进行谐波分析。01,3,5,4sin()jFjtftj例题1－10411sinsin3sin535Fttt（3）振动的频谱分析将频率特性分析方法用于振动分析，成为频谱分析。频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方法可以将系统传递函数从复域引到具有明显物理概念的频域来分析系统的特性。引入频谱分析的重要性在于：①可将任意激励函数分解为叠加的谐波信号，即可将周期激励函数分解为叠加的频谱离散的谐波信号，可将非周期激励函数分解为叠加的频谱连续的谐波信号。②对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的振动系统，可以通过实验求出系统的频率特性，进而得到系统的传递函数或微分方程。输出和输入的傅氏变换之比等于频率响应函数（频响函数）()H时域模型：微分方程描述频域模型：传递函数描述频率特性描述物理特性模态特性响应特性响应模型:位移、速度、加速度力学模型:质量、刚度、阻尼模态模型:固有频率、模态矢量模态质量、刚度、阻尼汽车振动学第二章单自由度系统的振动一、单自由度振动系统1、振动微分方程的建立2、振动等效系统及外界激励二、单自由度系统的自由振动1、无阻尼系统的自由振动2、有阻尼系统的自由振动三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振5、测振传感器的原理四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动1、谐波分析与叠加原理2、傅立叶（Fourier）级数法五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法2、傅立叶（Fourier）变换法3、拉普拉斯（Laplas）变换法一、单自由度振动系统1、单自由度系统及其振动微分方程建立2、振动等效系统及外界激励3、振动微分方程的求解1、单自由度系统及其振动微分方程建立（1）单自由度振动系统（2）单自由度系统振动方程的建立方法①牛顿第二定律或达朗贝尔原理例题2-1建立如图所示振动系统的振动微分方程。（教材例题2.10）222120badmlxcxkkxlllfmxMJ0fmx0MJ②能量法例题2-2半径为r、重力为mg的圆柱体在半径为R的圆柱面内滚动而不滑动，如图所示。试求圆柱体绕其平衡位置作微小振动的微分方程。（教材例题2.11）203()gRr0dTUdtT+U=常数2、等效振动系统及外界激励在工程上为便于研究，常把一些较为复杂的振动系统进行简化，以便当作运动坐标方向上只存在一个质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量和刚度，分别成为原系统的等效质量和等效刚度。同样，实际振动系统不可避免地存在阻力，因而在一定时间内自由振动会逐渐衰减，直至完全消失。振系中阻力有各种来源，如干摩擦、流体阻力、电磁阻力、材料内阻力等，统称阻尼。在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻尼来处理。通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。扭转刚度3DEAkl313BEIkl2pCGIkl（1）等效刚度拉压刚度弯曲刚度弹簧的串、并联21111kkke21kkke（2）等效质量通常用能量法求复杂系统的等效质量，即按实际系统要转化的质量的动能与等效系统质量动能相等的原则来求系统的等效质量。串联弹簧的刚度12111kkk12kkk并联弹簧的刚度2221RmrmJmeq242231)()(Rkkrkkkeq例题2-3例题2-4（教材例题2.4）例题2-5（教材例题2.5）3eLmm22213vsAJmbmbma例题2-6（教材例题2.3、2.6）求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量2121eekikJiJ在工程实际中，往往根据在振动一周期内实际阻尼所耗散的能量与粘性阻尼所耗散的能量相等来求系统的等效粘性阻尼。系统作简谐振动时，粘性阻尼在振动的一周期内所作的功2222200cos()TccWFxdtcXtdtcX库仑阻尼流体阻尼结构阻尼4eqmgcX83eqAceqac（3）等效阻尼)sin(tXx)cos(tXx（4）外界激励)()()()(tFtkxtxctxm单自由度系统的振动方程的一般形式0)(tF如果系统受到外界持续激励（即），就会从外界不断地获得能量，补充阻尼所消耗的能量，使系统保持等幅振动。这种由外界持续激励引起的振动即是受迫振动或强迫振动。当外界激励为零（即）时，系统仅在开始时受到外界干扰即初始干扰（如初始位移或速度），靠系统本身的固有特性而进行振动，即自由振动。0)(tF由此可见，单自由度系统的振动分析问题就是二阶常系数线性微分方程数学求解问题kxxmmxkmkp202xpx0222psesxexstst，方程变为，则设解为ptpxptxxpxDxBxxxxtDBptDptBpticcptccptiptcptiptcececxiipsiptiptsincos0sincossin)(cos)()sin(cos)sin(cos100000021212121）时，由初始条件确定（、，方程的通解为，其中解为单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简谐振动固有频率是系统本身的性质，与初始条件无关速度、加速度也是简谐振动)s(21)HZ(212)rad/s(arctan)sin(002020kmfTmkpfmkpxpxpxxAptAx固有周期固有频率固有圆频率初相位振幅可将解写为例题2.7某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随后m1的振动。惯量可以通过周期计算转动不大，有假定角运动微分方程0sinsinJmgSmgSJ根据固有频率的定义来求由等效质量和等效刚度来求，可由此得到固有频率＝时，势能必取得最大值，则动能为时取势能为若动能达到最大方程，可由此建立振动微分常数对振动系统：：势能：动能；maxmaxmaxmax000)(UTUTUTdtdUTUT应用能量法来求例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率mklaplamkaklmdtdakUlmT0)(0])(21)(21[)(21)(2122222圆频率＋可得22221maxmax22222212max2max22max1max2222122212222maxmaxmaxmax)(212)(21)(212sin2)(21)(21)cos1()(21)(2121)(21)cos()sin(mcmgcbkakpUTmgcAAbkAakmgcbkakUmgcbkakmgcbkakUpAmccmTApptApAptA可得由于，，则简谐振动假定摆球的微幅振动为求固有频率令mkp2mcn2pn相对阻尼系数ptptDeBex)1()1(22pteDtBx)(例题质量m=2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支承在四个车轮上，四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均为λst=15cm。为了能迅速地减少汽车上下振动，在四个支承处均安装了减振器，由实验测得两次振动后振幅减小到10%，即A1/A3=10，试求：1）振动的减幅系数和对数衰减率2）衰减系数和衰减振动的周期3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数正弦型激励周期激励任意激励tFkxxmsin0xmkmkp2tmFxpxsin02mkxF(t)，称为频率比其中故代入原方程有将特解可设为通解pkFmkFXtFtXkmxtXxptAptDptBx20200222111sinsin)(sin)sin(cossin振动。之和，一般不再是简谐频率不相等的简谐运动有，若代入，即得，将初始条件完整解)sin(sin1100)sin(sin11cossinsin11cossin20002000002021ptptkFxxxptptkFptxptpxxxxtkFptDptBxxxΔ2220)2()1(1XX放大因子，它代表稳态振幅X与激振力幅F0静止作用于弹簧上的静位移之比。λ=1时的放大因子称为品质因子pQ21单位谐函数法是指作用在系统上的激励为复数形式的单位幅值简谐激振力，titetfticsincos)(系统运动微分方程为ticccekxxcxm频率响应函数)()()(tftxHcc复数响应与复数激振力之比ieHikicmkH)(2111)(22频率响应函数的模称为幅频特性22)2()1(1)(kH频率响应函数的相位差角称为相频特性212arctan223222222222)2(12arctan)2()1()2(1)(22)(220)()(HpippipHxpxpxpxpxkxxckxxcxmxxkxxcxms