单自由度及多自由度系统模态分析

单自由度及多自由度系统模态分析结构振动分析基本理论•一般的振动问题1.已知激励和振动结构，求系统响应（正问题）2.已知激励和响应，求系统参数——系统识别（逆问题）3.已知系统和响应，求激励——荷载识别激励输入振动结构系统响应输出结构振动分析基本理论•振动结构模型：•空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。•模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。•响应模型——一系列响应函数组成空间模型（质量、阻尼、刚度）模态模型（固有频率，模态振型）响应模型（频率响应、脉冲响应）物理参数识别模态参数识别非参数识别结构振动分析基本理论•模态分析：以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析方法。1.理论模态分析2.实验模态分析（EMA）•在理论模态分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。•在实验模态分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。空间模型（质量、阻尼、刚度）模态模型（固有频率，模态振型）响应模型（频率响应、脉冲响应）单自由度系统脉冲响应函数•单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉冲响应函数（脉冲响应函数）()mxcxkxt•该式的解为•式中，•若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：()mxcxkxt1sin,0()()0,0tDDettmxthtt21D()()*()()()dxthtfthtf单自由度系统脉冲响应函数单自由度系统频响函数•单自由度系统振动微分方程：•设系统作用简谐激励•稳态位移响应：•稳态速度响应：•稳态加速度响应：()mxcxkxft()ejtftFejtxXejtxjX22()eejtjtxjXX•单自由度系统振动微分方程：•位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比：•速度频响函数：•加速度频响函数：2()mjckXF21()XHFkmjc2()VVjXjHFFkmjc22()AAjVHFFkmjc频响函数单自由度系统频响函数•频响函数的倒数称为阻抗•位移阻抗：•速度阻抗：•加速度阻抗：2()FZkmjcX()VFkZcjmVj2()AFkcZmAj单自由度系统频响函数•频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。•若系统的激励为•已知此时系统稳态输出为•因此•脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描述系统固有特性。脉冲响应函数与频响函数是系统识别的基础。()()*()()()d()()dxthtfthtffthjj()e()ettxtXHFj()j-j()()()de()de()edttxtfthFhFh-j()()edHh()()htH线性系统的输入与输出关系()ejtftF•根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积()()*()xthtft()()()XHF单位力作用下的系统时域与频域的响应线性系统的输入与输出关系不同激励下频响函数表达式•简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值之比•周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数x(t)，都可写为傅里叶级数的形式系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值与激励的幅值之比()XHF0022()()e1()()ejktkkTjktTkftFFftdtT0022()()e1()()ejktkkTjktTkxtXXxtdtT()()()(1,2,,)kkkXHFk•瞬态激励f(t)下响应为x(t)，一般可做傅里叶变换系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换之比•随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率谱与输入的自功率谱之比()F[()]Fft()()()XHF()F[()]Xxt()()()xfffGHG不同激励下频响函数表达式单自由度系统频响函数曲线（1）——粘性阻尼•由频响函数表达式•可得频响函数复指数形式•式中称为频率比22111()12XHFkmjckj22222112()e,arctan1(1)4iHk幅频特性相频特性共振幅值点半功率点静变形单自由度系统频响函数曲线（2）•频响函数表示成复数形式：•其中()()()RIHHjH2222211()(1)4RHk实频特性虚频特性222212()(1)4IHk单自由度系统频响函数曲线（3）•对于任一，根据上式可计算得到对应的一对HR()、HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。从0变到∞，矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（Nyquist图）22211[()]()44RIHHkk222212()(1)4IHk2222211()(1)4RHk半功率点ω=0，R=1/kω=ΩΩ=∞多自由度系统的振动——无阻尼系统•多自由度无阻尼系统的运动方程：•1、自由振动•设特解代入上式得•该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即•解得的n个互异正根0i，称为无阻尼系统的固有频率（特征方程的特征值）[]{}[]{}{()}MxKxft[]{}[]{}{0}MxKxejtx2([][][])[]{0}KM2|[][][]|0KM系统特征方程多自由度系统的振动——无阻尼系统•将0i代入：•解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）•模态振型具有正交性2([][][])[]{0}KM12[][{},{},{}]n0,{}[]{},0,{}[]{},TijiTijiijMmijijKkij多自由度系统的振动——粘性阻尼系统•多自由度粘性阻尼系统的运动方程：•其中•设系统受简谐激励，则•频响函数矩阵为[]{}[]{}[]{}{()}MxCxKxft[][][]CMK2([][][]){}{}KMjCXF21[()]([][][])HKMjC多自由度系统的振动——粘性阻尼系统•多自由度粘性阻尼系统的运动方程：•进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中的坐标为，则•代入运动方程得[]{}[]{}[]{}{()}MxCxKxft1{}{}nrrrxq111[]{}[]{}[]{}{()}nnnrrrrrrrrrMqCqKqft,1,2,,iqin多自由度系统的振动——粘性阻尼系统•左乘{s}T，考虑到模态振型的正交性，得•ms——第s阶模态质量•ks——第s阶模态刚度•cs——第s阶模态阻尼系数•qs——第s阶模态坐标•令，则111[]{}[]{}[]{}{()}nnnrrrrrrrrrMqCqKqft{}{()}Tsssssssmqcqkqftssscmk{()}{}ejtftFejtssqQ多自由度系统的振动——粘性阻尼系统•不考虑起始条件，可得位移响应：22()e{}{}e{}{}jtTjtsssssTsssssmjckQFFQmjck11{}{}e{}{}ennjtjtrrrrrrxXqQ12211{}{}{}{}{}TnnrrrrrrrrrnXXXQFmjckX多自由度系统频响函数•令•令•频响函数2211{}{}{}{}{}{}{}12TTnnrrrrrrrrrrrrrFFXmjckkjrr21{}{}{}{}12TnrrrrrFXkj2112rrrYkj211()NNirjrijrirjrrrrrrHYkmjc1{}[]{}{}{}nTrrrrXHYF物理意义为：在j点作用单位力时，在i点引起的响应i=j时，称为原点频响函数频响函数与模态参数的关系•频响函数矩阵中任一行为如果在结构上的某一固定点i点拾振，轮流激励所有点，即可求得[H]中的一行。（单点拾振法）1211211221[][{}][][]NTiiiNrirrrNrirrrNrrNirrrNrrrrrHHHYYkmjc频响函数与模态参数的关系•频响函数矩阵中任一列为如果在结构上的某一固定点j点激振，在其他各点拾振，即可求得[H]中的一列。（单点激励法）111222211jrrNNjjrrrrjrrrrrrNrNrNjHHYkmjcH频响函数图像•频响函数表达式•频响函数的图像可以看作为一系列单自由度系统的频响函数曲线的迭加。2111()NNNirjrijrirjrrijrrrrrrHYHkmjc2irjrrijrirjrrrrHYkmjc123234123123123频响函数图像•1.H11的幅频及相频曲线（原点频响函数）：11()rNNjijrirjrrirjrrrHYYe22arctan,1rrrrrr31222211111211311111212313jjjHHHHYeYeYe共振点反共振点11()rNNjijrirjrrirjrrrHYYe22arctan,1rrrrrr频响函数图像原点频响函数图像特征：1.在幅频图中，每两个共振峰之间必有一个反共振点；2.在相频图中，每经过一个共振点相位角滞后180°，每经过一个反共振点，相位角导前180°频响函数图像•2.H21的幅频及相频曲线（跨点频响函数）：11()rNNjijrirjrrirjrrrHYYe22arctan,1rrrrrr31221121221321121112221232313jjjHHHHYeYeYe共振点反共振点11()rNNjijrirjrrirjrrrHYYe22arctan,1rrrrrr123123123频响函数图像跨点频响函数图像特征：1.在幅频图中，若相邻模态同相位，在这两个模态之间存在一个反共振点，若相邻模态反相位，则这两个模态之间是一段平滑曲线；123234F00.511.522.5-202x10-5时间(s)加速度(g)00.511.522.5-202x10-5时间(s)加速度(g)00.511.522.5-202x10-5时间(s)加速度(g)05010015020025010-1010-5Frequency[Hz]Magnitude05010015020025010-1010-5Freq