高三一轮复习课件：二项式定理

第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学1．二项式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn.(n∈N＋)通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)．2．二项式系数(1)定义：叫做二项式系数．Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk，…Cnn第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)性质①Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝.②Cn0＋Cn2＋…＝Cn1＋Cn3＋…＝.③对称性：Cnk＝Cnn－k.④二项式系数最值问题．2n2n－1第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学b．当n为奇数时，中间两项Cn－12n，Cn＋12n相等且最大．3．项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数不同．a．当n为偶数时，中间一项Cn2n最大；第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学1．(2010·四川，13)2－13x6的展开式中的第四项是________．[解析]T4＝T3＋1＝C63·23·－13x3＝－160x.[答案]－160x第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学2．(2009·全国卷Ⅰ理)(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．[解析]－C103＋(－C107)＝－2C103＝－240.[答案]－240第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学3．(2010·江西，6)(2－x)8展开式中不含．．x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2[解析]展开式的通项公式Tr＋1＝C8r·28－r·(－x)r，则含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式所有项系数和为(2－1)8＝1，因此展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0，故选B.[答案]B第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(1)(2011·惠州二模)在(x2＋12x)10的二项展开式中，x11的系数是________；(2)(2008·湖南高考题)记(2x＋1x)n的展开式中第m项的系数为bm，若b3＝2b4，则n＝________.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[解析](1)Tk＋1＝C10k(x2)10－k(2x)－k＝2－kC10kx20－3k，解20－3k＝11得k＝3.故x11的系数为2－3·C103＝15.(2)由Tr＋1＝Cnr(2x)n－r·(1x)r＝2n－r·Cnr·xn－2r，得2n－2·Cn2＝2×2n－3·Cn3，所以解得n＝5.[答案](1)15(2)5第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[点评与警示]利用二项展开式的通项公式求展开式中指定项的系数、常数项等具有某种特殊性的项是二项式定理的基本问题．其通常解法是确定通项公式中r的值或取值范围．在应用通项公式Tr＋1＝Cnran－rbr时应注意：(1)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；(2)对于(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(1)(2009·重庆卷理)(x2＋2x)8的展开式中x4的系数是()A．16B．70C．560D．1120(2)(2009·全国卷Ⅱ理)xy－yx4的展开式中x3y3的系数为________．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[答案](1)D(2)6[解析](1)设含x4的为第r＋1，Tr＋1＝C6r(x2)6－r(2x)r＝C6r2rx16－3r,16－3r＝4，所以r＝4，故系数为：C6424＝1120，选D.(2)xy－yx4＝x2y2(x－y)4，只需求(x－y)4展开式中的含xy项的系数：C42＝6.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(1)求(x＋12·4x)8展开式中系数最大的项；(2)求(x－12·4x)8展开式中系数最大的项和系数最小的项．[解](1)(x＋12·4x)8展开式中系数最大的项为第r＋1项，通项公式为第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学Tr＋1＝C8r(x)8－r·(12·4x)r＝12rC8r·x4－3r4，(r＝0,1,2，…，8)则C8r2r≥C8r＋12r＋1，且C8r2r≥C8r－12r－1，由C8r2r≥C8r＋12r＋1得8！r！8－r！2r≥8！r＋1！7－r！2r＋1，即18－r≥12r＋1，第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学解得r≥2同理，由C8r2r≥C8r－12r－1得12r≥19－r，解得r≤3，故r＝2或r＝3∴展开式中系数最大的项为第3项和第4项，即T3＝7x52，T4＝7x74.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)由于(x－12·4x)8展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，由问题(1)知展开式中第三项的系数最大，第四项的系数最小，即T3＝7x52，T4＝－7x74.[点评与警示]设(a＋b)n展开式中系数最大的项是第r＋1项，其系数为tr＋1.则满足于tr＋1≥trtr＋1≥tr＋2，(r＝0,1,2,3，…，n)．若求(a－b)n展开式中系数最大的项或系数最小的项，可转化为求(a－b)n展开式中系数绝对值最大的项，再根据展开式中各项系数的符号求解．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学已知(1＋3x)n展开式中末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．[解]由题意得：Cnn－2＋Cnn－1＋Cnn＝121，整理得n2＋n－240＝0，解得n＝15，或n＝－16(舍去)．∴展开式通项公式Tr＋1＝C15r3rxr第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学设第r＋1项是展开式中系数最大的项，则Cr153r≥Cr－1153r－1Cr153r≥Cr＋1153r＋1解得r＝11或r＝12∴展开式中系数最大的项为第12项和第13项，即T12＝C1115311x11，T13＝C1215312x12.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)(2006·浙江卷)若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()A．9B．10C．－9D．－10(1)(2008·北京卷理)若(x2＋1x3)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________.其展开式中的常数项为________．(用数字作答)；第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(3)设(x2＋x－1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2n(x－1)2n，则a0＝________，a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝________，a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的系数＝________.[解析](1)令x＝1得2n＝32，所以n＝5.由二项式展开式得Tr＋1＝C5r·(x2)5－r·(x－3)r＝C5r·x10－5r，令10－5r＝0得r＝2，所以常数项为T3＝C52＝10.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)解法一：展开式中x10的系数满足1＝a10C100∴a10＝1展开式中x9的系数满足0＝a9C90＋a10C101，∴a9＝－10.故选D.解法二：x2＋x10＝[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10展开式中a9＝C101(－1)1＝－10.故应选D.(3)令x＝1，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝5n；第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝(－1)n；∴a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝5n＋－1n2，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝5n－－1n2.(4)解法一：展开式中x3的系数为C43(－1)3＋C53(－1)3＋C63(－1)3＋…＋C373(－1)3＝－(C33＋C43＋C53＋…＋C373)＋C33＝1－C384＝－73814.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学解法二：(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37＝1－x4[1－1－x34]1－1－x＝1－x4－1－x38x∴展开式中x3的系数为C44(－1)4－C384(－1)4＝－73814[答案](1)510(2)D(3)15n5n＋－1n25n－－1n2(4)－73814第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[点评与警示]赋值法是求形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R，m，n∈N*)的展开式的各项系数和或部分项系数和问题时常用的方法，只需令x＝0，得常数项；令x＝1，得各项系数之和；若x按升幂排列，如对于f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，奇数项系数和为f1＋f－12，偶数项系数和为f1－f－12.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(1)设(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，则a2＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a19＝________，a0＋a2＋a4＋…＋a20＝________.(2)(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数＝________.(3)C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝________.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[解析](1)(x2－2x－3)10＝[(x－1)2－4]10展开式中(x－1)2的系数a2＝C101(－4)9，∴a2＝－10·49令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋…－a19＋a20＝310∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0，a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310(2)解法一：原式＝x－1{1－[－x－1]5}1－[－x－1]＝x－1＋x－16x∴展开式中x2的系数为C63(－1)3＝－20.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学解法二：展开式中x2的系数为－C20＋C31(－1)1－C42(－1)2＋C53(－1)3＝－20.(3)由Cnm＝Cnn－m知C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝C2120＋C2119＋C2118＋…＋C2112＋C2111，而C210＋C211＋C212＋…＋C2110＋C2111＋…＋C2121＝221∴C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝221－22＝220－1.[答案](1)－10·490310(2)－20(3)220－1第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1能被31整除；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.[分析](1)要先用等比数列的前n项和公式，然后应用二项式定理转化成含31的倍数的关系式；(2)把0.998变成1－0.002，然后应用二项式定理展开．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(1)[证明]1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝1－25n1－2＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋Cn1·31n－1＋Cn2·31n－2＋…＋Cnn－1·31＋1－1＝31(31n－1＋Cn1·31n－2＋…＋Cnn－1)显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)[解]∵0.9986＝(1－0.002)6＝1－C61(0.002)＋C62(0.002)2－C63(0.002)3＋…第三项T3＝15×(0.002)