绝对值不等式的类型

绝对值不等式的类型及解法1.含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集.不等式a0a=0a0|x|a_______________|x|a___________________________{x|-a＜x＜a}∅∅{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}R2.|ax+b|≤c(c0)和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法.(1)|ax+b|≤c⇔____________.(2)|ax+b|≥c⇔__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c1.不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)2.不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：2(,)[2,)32x3类型一简单绝对值不等式的解法1.不等式的解集是_____.2．不等式的解集为______.1|x2|12－21|1xx|12＜【解析】1.解得2≤x≤6.1|x2|1x422x42,2－－－答案：［2,6］【拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a,|f(x)|a(a∈R)型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即①当a0时，|f(x)|a⇒-af(x)a.|f(x)|a⇔f(x)a或f(x)-a.②当a=0时，|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)≠0.③当a0时，|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)有意义即可.(2)形如|f(x)||g(x)|型不等式.此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)||g(x)|⇔［f(x)］2［g(x)］2⇔［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］0.(3)形如|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即①|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x),②|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.(4)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式.此类问题的简单解法是利用等价转化法，即a|f(x)|b(0ab)⇔af(x)b或-bf(x)-a.(5)形如|f(x)|f(x),|f(x)|f(x)型不等式.此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)⇔x∈∅，|f(x)|f(x)⇔f(x)0.类型二含多个绝对值不等式的解法【典型例题】1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为______.2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为______.【变式练习】若将题1中的不等式改为求它的解集.2x1(2x),－＞－【解析】1.|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2所以原不等式的解集为答案：223x2x1x4x42x3x,2－＞－＞＞3()2，2.方法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.所以-1-x+1-x=3,得同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以3x.23x.2从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是33(,][,).22方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得当-1＜x＜1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以综上,可知原不等式的解集为3x.23x.233{x|xx}.22或方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函数的图象(如图).函数的零点是y2x3x1,11x1,2x3x1.，，，33,,22从图象可知当或时,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为答案：3x23x233(,][,).2233(,][,)223.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的_______性，进而去掉绝对值符号.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.正确求出函数的_____并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.正、负零点【互动探究】若将题1中的不等式改为求它的解集.【解析】又2－x≥0，所以x≤2.所以原不等式的解集为【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x≥0而致误.2x1(2x),－＞－222x1(2x)(x1)2x－＞－－＞－223x2x1x4x42x3x,2－＞－＞＞3{x|x2}.2＜【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式有三种解法：分区间(分类)讨论法\,图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)分区间(分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即也即x∈R.x为非负数时,｜x｜为x;x为负数时,｜x｜为-x,即x的相反数.xx0xxx0，，｜｜，，(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=｜x-a｜+｜x-b｜-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设ab,于是这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.2xabcxaf(x)bacaxb2xabcxb.，，，，，其他类型的绝对值不等式【典型例题】1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____.2.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的取值范围是_______.3.解不等式：|x2－3|＜2x.【解析】1.|2x-3|3x+1,由题意知3x+10,原不等式转化为-(3x+1)2x-33x+1.以上不等式等价于所以原不等式的解集为答案：2x33x1,x25,2x33x1,x4,x25.3x10,x132().5，2().5，2.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.若a1,则⇒f(x)的最小值为1-a.若a1,则⇒f(x)的最小值为a-1.综上可知，所求a的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞).答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)2xa1,xaf(x)1a,ax1,2xa1,x1，2xa1,x1f(x)a1,1xa2xa1,xa，，3.因为|x2－3|＜2x，所以x＞0，所以|x2－3|＜2x⇔－2x＜x2－3＜2x⇔解不等式组得22222xx3x2x30x32xx2x30－＜－，－＞，－＜－－＜，{x|1x3}.＜＜【拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集.(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有以下几种：形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜g(x)的求解方法：(ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，即(ⅱ)根据公式：|x|a⇔-axa(a∈R且a0);｜f(x)｜g(x)⇔-g(x)f(x)g(x);|x|a⇔xa或x-a(a∈R且a≥0);｜f(x)｜g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x).(ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R)，若不等式两边非负,可在不等式两边同时平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜⇔f2(x)≤g2(x).aa0aaa0.，【规范解答】含参数的绝对值不等式的解法【规范解答】因为a∈R,故分以下两种情况讨论：(1)当a+1≤0①,即a≤-1时，原不等式无解，即不等式的解集为∅a4a2x.22a4a2(,);22(2)当a+10,即a-1时，……………………………………………………6分原不等式可变为-a-12x+3a+1.……………………………8分所以………………………………………10分综上可知，当a-1时，原不等式的解集为②当a≤-1时，原不等式的解集为∅.………………………12分a4a2x.22a4a2(,);22【防范措施】含参数的绝对值不等式解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结果.1.解关于x的不等式：|x2-a|a.【解析】1.当a≤0时，不等式的解集为∅.当a0时，原不等式等价于-ax2-aa⇔0x22a,所以综上所述，当a≤0时，原不等式的解集为∅;当a0时，原不等式的解集为2ax2a,x0.且(2a,0)(0,2a).2.若不等式|ax+2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a=______.【类题试解】2.若不等式|ax+2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a=______.【解析】由|ax+2|＜6得－8＜ax＜4,当a＞0时，因为不等式的解集为(－1,2)，所以解得两值相矛盾.当a＜0时，则解得a=－4.综上得，a=－4.答案：－484x.aa－＜＜81,a42,a－－a8,a2,48xaa＜＜－，41,a82,a－－例4[2009·福建卷]解不等式：|2x－1||x|＋1.【解答】当x0时，原不等式可化为－2x＋1－x＋1，解得x0，又∵x0，∴x不存在；当0≤x12时，原不等式可化为－2x＋1x＋1，解得x0，又∵0≤x12，∴0x12；当x≥12时，原不等式可化为2x－1x＋1，解得x2，又∵x≥12，∴12≤x2，综上，原不等式的解集为{x|0x2}．【点评】解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理的方法通常是定义、平方、几何意义等方法．对含多个绝对值符号的不等式一般利用”零点分割”法分段讨论．本题是绝对值不等式的简单应用．利用去绝对值符号的两种方法，可以解含有绝对值符号的不等式，也可以转化为求最值或求参数范围．下面的变式训练是含参数的绝对值不等式的求解问题变式题关于x的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】方法1：由绝对值三角不等式的性质得x－1＋x－2≥(x－1)－(x－2)＝1，∴要使关于x的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1的解集为空集，则需a2＋a＋11，解得－1a0.方法2：设f(x)＝