拉普拉斯方程

两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z=x+iy，并且那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：上述方程继续求导就得到所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：则等式成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数那么相应的解析函数为在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f在复平面上以原点为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即将每一项系数适当地分离出实部和虚部那么这便是f的傅里叶级数。