电磁场与电磁波第四版第一章部分答案

电磁场与电磁波习题1.1给定三个矢量A、B和C如下：𝐀→=ex+ey2-ey3,𝐁→=-ey4+ez,𝐂→=ey5-ez2.求：(1)eA→(2)BA；(3)BA；(4)θAB(5)𝐀→在𝐁→上的分量；(6)A→×C→;(7)CBA和CBA;(8)CBA和CBA。解：（1）eA→=AA=ex+ey2−ey3√1+4+9=ex√14+2ey√14-3ez√14（2）BA=|ex+ey6−ez4|=√53（3）BA=-8-3=-11（4）cosθAB=−11√238,故θAB=135.5°（5）|A|→cosθAB=BBA=−11√17（6）CA|exeyez12−350−2|=−ex4−ey13−ez10（7）CBex8+ey5+ez2042CBACBA（8）CBA|exeyez−10−1−450−2|=ex2−ey40+ez5CBA|exeyez12−38520|=ex55−ey44−ez111.4给定两矢量Aex2+ey3−ez4和Bex4−ey5+ez6，求它们之间的夹角和𝐀→在𝐁→上的分量。解：|A|→=√4+9+16=√29|B→|=√16+25+36=√77cosθAB=8−15−24√2233=−31√2233故θAB=131°|A|∙cosθAB=-3.5321.9用球坐标表示的场𝐄→=er25r2。（1）求在直角坐标中点（-3,4，-5）处的|E|→和Ex;(2)求在直角坐标中点（-3,4，-5）处𝐄→与矢量𝐁→=ex2−ey2+ez构成的夹角。解：（1）在点（-3,4，-5）处，r=√9+16+25=5√2,故|E|→=12,E→=−ex3+ey4−ez510√2故Ex=exE=−3√220（2）cosθ=BEBE=−19÷10√21.5;θ=153.6°1.11已知标量函数u=x2yz,求u在点（2,3,1）处沿指定方向el=ex3√50+ey4√50+ez5√50的方向倒数。解：∇u=ex2xyz+eyx2z+ezx2y∂u∂l=2xy∙3√50+x2z∙4√50+x2y∙5√50;∂u∂l|(2,3,1)=112√501.12已知标量函数u=x2+2y2+3z2+3x−2y−6z。（1）求∇u；（2）在哪些点上∇u等于0？解：∇u=ex∂u∂x+ey∂u∂y+ez∂u∂z=ex(2x+3)+ey(4y−2)+ez(6z−6)∇u=ex(2x+3)+ey(4y−2)+ez(6z−6)=0,x=-3/2,y=1/2,z=11.13方程u=x2a2+y2b2+z2c2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解：∇u=ex2xa2+ey2yb2+ez2zc2|∇u|=2√(xa2)2+(yb2)2+(zc2)2;故其单位法向矢量为en=∇u|∇u|=exxa2+eyyb2+ezzc2√(xa2)2+(yb2)2+(zc2)2;1.16已知矢量E→=ex(x2+axz)+ey(xy2+by)+ez(z−z2+czx−2xyz),试确定常数a、b、c,使E→为无源场。解：由∇E=(2x+az)+(2xy+b)+(1-2z+cx-2xyz)=0解得a=2,b=-1,c=-21.20在球坐标系中，已知矢量A→=era+eθb+eφc,其中a、b、c均为常数。(1)问矢量A→是否为常矢量；(2)求∇∙A和∇×A解：（1）A=|A→|=√a2+b2+c2;A→的模为常数用球坐标来表示，A→=ex(asinθcos∅+bcosθcos∅−csin∅)+ey(asinθsin∅+bcosθsin∅+ccos∅)+ez(acosθ−bsinθ),A→随θ与∅变化，故其不是常矢量（2）∇∙A=1r2∂∂r(r2a)+1rsinθ∂∂θ(sinθb)+1rsinθ∂c∂∅=2ar+bcosθrsinθ∇×A=1r2sinθ||erreθrsinθe∅∂∂r∂∂θ∂∂∅ArrAθrsinθA∅||=erccosθrsinθ−eθcr+e∅br21.22求矢量A→=exx+eyxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算∇×A对此圆面积的积分。解：∮A→∙dl=∮xdx+xy2dy将直角坐标变换成圆柱坐标，则原式=∮（−a2cosφsinφ+a4(cosφ)2(sinφ)2)dφ2π0=πa44根据斯托克斯定理∫∇×A∙ds=πa441.23证明：（1）∇∙r→=3;(2)∇×r→=0;(3)∇(k→∙r→)=k→。其中r→=exx+eyy+ezz,k→为一常矢量。解：（1）∇∙r→=divr→=1+1+1=3(2)∇×r→=|exeyez∂∂x∂∂y∂∂zxyz|=0(3)设k→=exAX+eyAy+ezAz;k→∙r→=AXx+Ayy+Azz∇(k→∙r→)=ex∂∂x(AXx+Ayy+Azz)+ey∂∂y(AXx+Ayy+Azz)+ez∂∂z(AXx+Ayy+Azz)=exAX+eyAy+ezAz=k→