第二章-应力分析-作业-创新班-东北大学课件

2019年固体力学与岩石力学基础作业（创新班）第二章应力分析2.1有如图2.1所示三角形水坝，试列出OQ面（光滑面）的应力边界条件和OP面的应力边界条件。图2.1解：首先，在OP边上，边界条件为：𝜎𝑥1=γ𝑤𝑥2τ𝑥1𝑥2=0式中，γ𝑤为水的比重。其次，在OQ边界上，边界条件为：𝜎𝑥1𝑐𝑜𝑠𝜃+τ𝑥1𝑥2𝑠𝑖𝑛𝜃=0τ𝑥1𝑥2𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜎𝑥2𝑠𝑖𝑛𝜃=0解答完毕。2.2在物体中一点P的应力张量为111213212223313233104=030405（1）求过P点且外法线为123111222n=eee的面上的应力矢量()n。（2）求应力矢量()n的大小。（3）求()n与n之间的夹角。（4）求()n的法向矢量nσ（5）求()n的切向矢量τ。POQ2x1x解：（1）过P点，且外法线为n的应力矢量为：𝝈𝒏=[𝜎11𝜎12𝜎13𝜎21𝜎22𝜎23𝜎31𝜎32𝜎33]∙𝒏=[10−4030−405][12−121√2]=[12−4√2−32−2+5√2]（2）𝝈𝒏的大小为：|𝝈𝒏|=√(12−4√2)𝟐+(−32)𝟐+(−2+5√2)𝟐=3.17（3）根据向量关系的有关理论：𝑐𝑜𝑠𝜃=−1.16+0.75+1.093.17×1=0.21于是，夹角为：θ=arccos0.21=77.88°（4）法向矢量为：𝜎𝑛=[12−4√2−32−2+5√2][12−121√2]=0.68（5）切向矢量的求解：τ2=𝝈𝒏2−𝜎𝑛2=9.59于是有：τ=3.1解答完毕。2.3通过同一点P的两个平面1、2，其单位法向矢量分别为1n及2n，这两平面上的应力矢量分别为1()n及2()n。证明（1）12()()21nnσnσn（2）如果1()n在平面2上，则2()n在平面1上。解：（1）证明：因为：𝝈(𝒏𝟏)=𝝈𝒊𝒋∙𝒏𝟏𝝈(𝒏𝟐)=𝝈𝒊𝒋∙𝒏𝟐所以有：𝝈(𝒏𝟏)∙𝒏𝟐=𝝈(𝒏𝟐)∙𝒏𝟏可以改写为：𝝈𝒊𝒋∙𝒏𝟏∙𝒏𝟐=𝝈𝒊𝒋∙𝒏𝟐∙𝒏𝟏由于：𝒏𝟏∙𝒏𝟐=𝑐𝑜𝑠𝑡（常数）所以，等式恒成立。证明完毕。（2）如果1()n在平面2上时，由几何关系知：𝝈(𝒏𝟏)∙𝒏𝟐=𝟎根据（1）的证明，有：𝝈(𝒏𝟐)∙𝒏𝟏=𝟎即，2()n在平面1上。解答完毕。2.4如图2.2所示，变宽度薄板，受轴向拉伸载荷P。2221230。试根据柯西应力定理公式确定薄板两侧外表面（法线为n）处横截面正应力33和材料力学中常被忽略的应力11，31之间的关系。图2.2解：由于，𝒗=(𝑙,𝑚,𝑛)𝝈=[𝜎110𝜎13000𝜎310𝜎33]由柯西公式得：𝜎𝑛=𝒗∙𝝈∙𝒗=𝜎11𝑙2+𝜎33𝑛2+2𝜎31𝑙𝑛=0进而，有：P1x3x3x3131vo𝜎𝑧=−2𝜎31𝑙𝑛+𝜎11𝑙2𝑛2解答完毕。2.5已知一点平面状态下的应力张量11122122，求如图2.3所示斜面上的应力矢量。图2.3解：n单位向量为：𝐧=[−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃]该斜面山的应力矢量为：𝜎𝑛=[𝜎11𝜎12𝜎21𝜎22]∙𝐧=[−𝜎11𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜎12𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜎21𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜎22𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃]解答完毕。2.6已知平面状态下一点的应力张量为11122122，求12oxx坐标系2x面上的应力分量。解：n单位向量为：𝐧=[−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃]该斜面山的应力矢量为：𝜎𝑛=[𝜎11𝜎12𝜎21𝜎22]∙𝐧=[−𝜎11𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜎12𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜎21𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜎22𝑐𝑜𝑠𝜃]坐标转换矩阵：A=[𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃]于是，有：𝜎𝑛′=A∙𝜎𝑛=[𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃]∙[−𝜎11𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜎12𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜎21𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜎22𝑐𝑜𝑠𝜃]解答完毕。2.7已知123oxxx中的应力张量σ，坐标系123oxxx绕3x轴旋转角（1）得到坐标系123oxxx，随后坐标系123oxxx绕1x轴旋转角（1）得到坐标系123oxxx，求坐标系123oxxx中的应力张量σ。解：对于第一次坐标转换：A=[𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃0−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃0001]转换后的应力张量为：𝜎′=𝐴𝜎𝐴𝑇对于第二次坐标转换：B=[1000𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑0−𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑]转换后的应力张量为：𝜎′′=𝐵𝜎′𝐵𝑇=𝐵𝐴𝜎𝐴𝑇𝐵𝑇11,xx2x2x3x3x33,xx1x1x2x2x𝐵𝐴=[𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃0−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑−𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑]𝐴𝑇𝐵𝑇=[𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑−𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃0𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑]解答完毕。2.8如图所示的薄板在1x方向受均布拉伸载荷，在板的自由边上有一尖角突起，试证明在突起的尖点C处应力张量为零，12nn。解：在n1和n2面上，无面力作用，即：𝑋̅=𝑌̅=0设，n1=(L1,M1)，n2=(L2,M2)。则，在n1边界上，由边界条件公式：L1𝜎𝑥1𝑥1+M1𝜎𝑥1𝑥2=0L1𝜎𝑥2𝑥1+M1𝜎𝑥2𝑥2=0在n2边界上，由边界条件公式：L2𝜎𝑥1𝑥1+M2𝜎𝑥1𝑥2=0L2𝜎𝑥2𝑥1+M2𝜎𝑥2𝑥2=0因为，C点既在n1边界上，又在n2边界上，所以既满足n1面的边界条件，又满足n2面的边界条件。解得：𝜎𝑥1𝑥1=𝜎𝑥1𝑥2=𝜎𝑥2𝑥2=0即C处应力张量为零。解答完毕。2.9证明：112233112233=是不变量。解：从数学角度上讲，此类问题属于行列式的坐标转换问题。2xC2n1n111x第一步证明，矩阵的所有特征值之和等于矩阵的所有对角线元素之和。写出行列式：|𝜆𝐸−𝜎𝑖𝑗|根据定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和。要得到𝜆2只能取对角线上元素的乘积。(𝜆−𝜎11)(𝜆−𝜎22)(𝜆−𝜎33)所以特征多项式的2次项系数是−𝜎11−𝜎22−𝜎33。而特征多项式=(λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3)，2次项系数是−λ1−λ2−λ3。所以𝜎11+𝜎22+𝜎33=λ1+λ2+λ3。第二步证明，矩阵的特征值不随着矩阵坐标的转化而改变。设，坐标转换矩阵为C，进行坐标转换后的应力张量为：𝜎𝑖𝑗′=𝐶𝜎𝑖𝑗𝐶𝑇由于坐标转换矩阵为正交矩阵，即：𝐶𝑇=𝐶−1所以有：𝐶𝑇(𝜆𝐸−𝜎𝑖𝑗′)𝐶=𝜆𝐸−𝜎𝑖𝑗由于对矩阵进行初等变换之后，矩阵的特征值不变，所以有：|𝜆𝐸−𝜎𝑖𝑗′|=|𝜆𝐸−𝜎𝑖𝑗|=0即，矩阵的特征值不随着矩阵坐标的转化而改变。综上所述，112233112233=是不变量。关于应力张量不变量可以理解为：应力状态方程可写为：321230NININI其中：𝐼1=𝜎11+𝜎22+𝜎33方程的根代表主应力，它的大小和方向在物体的形状和引起内力的因素确定以后，是完全确定的，也就是说，它不会随着坐标的改变而改变。由于方程的根不变，故其系数也不变。解答完毕。