1819勒贝格积分概念与性质

实变函数论实变函数论实变函数论第18、19讲第五章积分理论（一）L积分与L可积概念的建立及L积分的基本性质一、勒贝格积分建立方式简介1、勒贝格积分的非勒贝格式的建立方式2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式1、非勒贝格式的建立方式（1）非负简单函数的Lebesgue积分1(),()()kkknkkkEkfxcxEEEELfxdxcmE==∈==∑∫∪nk=1设,(k=1,,n)为上的简单函数可测，相互不交，则()()fxEfLE∈若积分值，称在上勒贝积，记做可格有限()([0,1]),()()0DxLLDxdx∈=∫[0,1]例1：且（2）非负可测函数的Lebesgue积分0()()()()sup{()():()}EExfxLfxdxLxdxxEϕϕϕ≤≤=∫∫为上的简单函数（3）一般可测函数的勒贝格积分()()()()EELfxdxLfxdx+−∫∫若与至少一个有限，()()()()()()EEELfxdxLfxdxLfxdx+−=−∫∫∫用上述思想、方式引进勒贝格积分的教材很多。如：【1】周民强《实变函数》【2】郑维行王声望《实变函数与泛函分析概要》（上册）【3】钱佩玲、柳藩《实变函数论》2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式→(1)集上有界函数的勒测度有限贝格积分2→非负函（）测度有限集上的数勒贝格积分(3)→上非负函数的勒一般可测集贝格积分(4)→一般函数一般可测集上的勒贝格积分类比推广R积分R积分——积分区间长度有限，被积函数有界（1）测度有限集上有界函数的L积分1）几个概念：a)集合E的可测分划：1,mniiiEREEE=⊂=∪设若，互不相交、可测12{,,...,}mEEEE称为的一个可测分划1miiEE=∪或称为一个可测分划类比定积分中[a,b]的分割b)集合E可测分划的加密（细）：1(1)1:,miiAEE==∪若2(2)1:miiBEE==∪12(1)(2)11:()ABmmijijDEEE===∩∪∪则为、的加细类比定积分分割的加细c)可测集E上有界函数()fx的小和与大和11(),()mmiiiiiisDbmESDBmE====∑∑1:,inf{()},sup{()}iimiiixExEiDEEbfxBfx∈∈====∪令类比定积分的大、小和1[,]{[,]|1,2,...,}iiEabxxin−==的分割：121{{},(,],...,(,]}naxxxb−不是可测分划是§1引理1ⅰ）E的可测分划加细，大和不增，小和不减；inf{(,)}()()Lsup{(,)}()()LDEDESDffxdxfxEsDffxdxfxE−==∫∫d)称为在上的积分称为在上的上下积分**DDSS≤≤≤*DD设E的两个分划D比D更细，则ss**ii)DS≤D对于任意两个分划D和D，均有siii)sup{(,)}inf{(,)}DDsDfSDf≤大和有下界，小和有上界，而且类比定积分的Darboux上下积分e）测度有限集上有界函数的勒贝格积分定义：,()mEfxE+∞设在上有界.()()EEfxdxfxdxA−−==∫∫若()LL()EAfxEfxdxA=∫称为在上的积分，记做（）()L()AfxEfLE−∞+∞∈因这里：，所以称在上可积，记做L可积充要条件L积分存在,()nERmEfxE⊂+∞设可测，（程版在108）定理1上有界,则()()0,D(,)(,),iiiiiifxLEESDfsDfmEBbεωεω∈⇔∀∃−==−∑的可测分划，使得其中,()mEfxE+∞（程版108设在）定理2上有界()fx在E上勒贝格可积⇔()fx在E上勒贝格可测2）测度有限集上有界函数L可积的两个充要条件：（2）测度有限集上非负函数的勒贝格积分,()mEfxxE+∞≥∈设0，对任意正整数m，做m截断函数(),()(){()}min{(),},1,2,...,()mmfxfxmfxfxfxmmmfxm⎧====⎨≥⎩()mfx则函数列的{}性质:()(),mmfxfxmm≤∀i){}有界:123()()()()mfxmfxfxfx≤≤≤ii){}关于递增:lim()(),mmfxfxxE→∞=∈iii)0xE∀∈事实上,0(),fx=+∞若0,()mmfxm∀=则对有0+=()fx→∞0(),fx+∞若0,()MfxM∃则使得00,()()mmMfxfx=从而时lim{()}0mEmfxdxAA→∞=≤≤+∞∫总有存在,且{}{()}mEfxdxm∫为关于的单增的广义数列lim{()}()E()mEmfxdxAfxfxdxA→∞=∫∫E称为在上的勒贝格积分，记为＝0A≤+∞若()Efx称在上勒贝格可积{()}mEfxdx∫{()}mEfxdx⇔∫则存在()fxE⇔在上可测利用已有的（1）测度有限集上有界函数的L积分的概念，考虑{()}mfxE在上可测L积分存在充要条件是f可测（3）一般可测集上非负函数的勒贝格积分,E对点集用测度有限的一列可测集来逼近,即()0,,fxxE≥∈设mE≤+∞,mmmEEK∀=∩对令{(0,)}mKxdxm=≤其中mE则的性质:mmmEEK+∞≤+∞i)m:mmmEii)递增111:()()mmmmmmmmEEEEEKEKE∞∞∞→∞→∞=====∪=∪∩=∩∪=m+m+iii)limlim()()lim()()mEEmLfxdxLfxdx→∞=∫∫称()fLE∈若积分值有限，则称()L()()EEfxfxdxfx⇔∫【】E上非负函数的积分存在2在注上L可测()mEfxdx∫()mEfxdx⇔∫则存在()fxE⇔在上可测利用已有的（2）测度有限集上非负函数的L积分的概念，考虑()mfxE在上可测()mEfxdx∫积分列单增,非负,lim()mEmfxdx→∞∫从而存在（4）一般可测集上一般函数的勒贝格积分()fxE≤∞定义：设在可测集上可测,mE+,()()EEfxdxfxdx+∫∫－若与至少有一个有限，()()()EEEfxdxfxdxfxdx+−−∫∫∫则有L积分(L)＝()fLE∈若积分值有限，则称()fLE()()fLEfLE+−∈⇔∈∈且()()EEfxdxfxdx+∫∫－由定义(3)的分析知,与均存在,ffff+−∀=−Eff+−⇔与在上均可测Ef⇔在上可测小结⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩测度有限集上有界函数的勒贝格积分测度有限集上非负可测函数的勒贝格积分一般可测集上非负可测函数的勒贝格积分一般可测集上一般可测函数的勒贝格积分二、勒贝格积分性质证明思路：()()()fxfxfx+−=−←非负f←非负有界,fmE+∞其理论基础，是测度有限集上有界函数L可积的两个充要条件R⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩线性性——128页定理4（3）138页定理4（2）（3）积分区域有限可加性——128页定理4（2）1.与积分相同的单调性——128定理4（1）138定理4（5）基本性质可积性对四则运算封闭——(程其襄版)111页定理3绝对可积性?RL2L2.L0L⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔⎪⎪⎩1、有限区间上可积，必可积，且积分值相等、积分的绝对连续性3、可积，则函数几乎处处有限积分独有的4、零集上任意函数可积，且积分为其它性质5、几乎处处相等的函数可积性、积分值相同6、可积绝对可积7、比较原则1、L可积与R可积的关系[,][,][,]()()()()babafRabfLabLfxdxRfxdx∈∈=∫∫若，则，且定理011[,]:,,...,,niiiabTaxxxbxxx−∀==Δ=−一个分割证明1111:[,],[,],(,],2,3,niiiiiDabEEaxExxin−=====…∪对应着一个可测分划R[a,b],ff∈因所以必有界，11[,](,]inf()inf();iiiiiixxxxmfxfxb−−=≤=则imE(,),(,),(,),(,)SDfsDfSTfsTf所以,相应的大和,小和关系如下[,][,](,)(,)()()(,)(,)ababsTfsDffxdxfxdxSDfSTf−−≤≤≤≤≤∫∫则Δ=i又x11[,](,]sup()sup();iiiiiixxxxMfxfxB−−=≥=[,][,](,)()()inf(,)TababsTffxdxfxdxSTf−−≤≤≤∫∫T则sup2L、积分的绝对连续性0lim()0AmAfxdx→=∫亦有0,|()|,MfxMxE∃≤∈则使得0(),lim()0AmAfLEfxdx→∈∀=∫设则可测子集A,有()fLE∈证：设有界，()||()|AAfxdxfxdxMmA≤≤×∫∫于是|0,0mA→→当时L3、可积，则函数几乎处处有限()(|()|)0fLEmEfx∈=+∞=设，则.nnmEnnEEEfdxfdx−=+∫∫11(|()|)(|()|)nnnEfxEfxnE∞∞===+∞==∩∩证：,Enfdx∀∫0[]mEf≤=∞(||()|)0mExfx=+∞=所以nEfdx≥∫1nEmEfdxn∴∫nmE≤1Efdxn∫0()n→→∞0fEmE=证：设为上任意函数,0mEfff+−=∴∵必可测，从而与非负可测()0,()0EEfxdxfxdx+−==∫∫必有()lim{()}0mEEmfxdxfxdxa++→∞==∫∫若不然，设由极限的局部保号性，,,{()}02mEaNNfxdx+∃∫当m有0{()},mfxmxE+≤≤∈而,0{()}2mEaNfxdx+∫当m有此示：任意改变零集上的函数值，不影响函数的可积性与积分值4、证明：零集上任意函数都L可积，且积分值等于00,mmE≤×=矛盾，证毕。..fgaeE=证：设于00(),(),()fLEfLEEfLE∈∈−∈若则5、几乎处处相等的函数，其可积性与积分值相同且积分值同。000L(),()EEfggLEEgLE−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→∈−∈在与相等零集上任意函数可积()gLE⎯⎯⎯⎯⎯⎯→∈积分区域的可加性000,,EEmEfgxEE→∃⊂=∈−=0,6、可测函数可积的充要条件是绝对可积()||()fLEfLE∈⇔∈即：证：(),()fLEffLE+−∈⇔∈分析：⇒||(),||EEEfLEfdxfdxfdx+−∈=++∞∫∫∫设即EEEEEfdxfdxfdxfdxfdx+−+−=−∫∫∫∫∫所以，均有限，从而有限体会L积分与R积分的不同||EEEfdxfdxfdx+−=++∞∫∫∫从而⇐()fLE⇔∈7、积分的比较原则：(),,EgLEgdx∈≤+∞∫由非负有0|()|(),fxgxxE≤∈∵又，||()fLE∈故()fLE∈从而由绝对可积性，得证毕判断可测函数L可积的重要方法()(),|()|(),,()fxEgLEfxgxxEfLE∈≤∈∈设在上可测，非负则0||EEfdxgdx≤≤+∞∫∫f∵证明可测||f积分存在故||f∴非负可测所以由积分的单调性得[0,1]()Dxdx∫例1：计算1()0xDxx⎧=⎨⎩当为[0,1]中有理数集解：当为[0,1]中无理数集法一记Q为[0,1]上有理数集，则由积分区域可加性，有[0,1][0,1]()000QQDxdxdxdxmQ−∫=∫+∫=+=法二()0..[0,1]Dxae=因为于[0,1][0,1]()0010Dxdxdx∫=∫=⋅=所以思考练习2006:()cosxxfxxx⎧=⎨⎩，当为有理数例2设，当为无理数[0,]2()fxdxπ∫=求？＝1()cos.[0,],2fxxaeπ=∵解于[0,][0,]22()cosfxdxxdxππ∴=∫∫2200()cossin|1Rxdxxππ===∫().()cos.xfxeaefxxae==解因为于[0,1],于[1,2][0,2][0,1][1,2]()()()fxdxfxdxfxdx=+∫∫∫所以[0,2],[0,1]sin(arctan),()cos,(1,2]1,[1,2]ln()xexPxxPfxxxQxQxPQfxdx⎧∈−⎪∈⎪⎪=⎨∈−⎪⎪∈⎪⎩∫∩例3、其中为康托集，为有理数集，求计算[0,1][1,2]cosxedxxdx+∫∫＝1201cosx