基本不等式基础练习

试卷第1页，总1页1．下列不等式正确的是A．212xx（B）24(0)xxxC）12xx（D）1sin2()sinxxkx2．设0,0ab，若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（）A．8B．4C．1D．143．已知0,0xy，且131xy，则2xy的最小值为（）A．726B．23C．723D．144．已知M是△ABC内的一点，且32ACAB，30BAC，若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别yx,,21，则yx41的最小值是()A.9B.18C.16D.205．已知函数22()(2)fxxbaxab是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为()A.2B.2C.4D.－26．若正实数,xy，满足26xyxy，则xy的最小值是__7．已知正数xy、满足3xyxy，则xy的范围是。8．函数120)2fxxxx（1）（的最大值是9．在等比数列{}na中，0na，且1816aa，则45aa的最小值为______．10．不等式4210xxaxR对一切恒成立，则a的取值范围是。11．已知AD是ΔABC的中线，若∠A=120°，2ACAB，则||AD的最小值是12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)·BC·BA＋cCA·CB＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝23，试求AB·CB的最小值．13．已知向量m＝1sin,2A与n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．14．在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=12c+bcosC.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=3,求b的最小值.本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总6页参考答案1．B【解析】试题分析：由题意2(3)333abab，所以1ab，则1111()2224baabababab，故选B.考点：1.等比数列的性质;2．均值不等式的应用.2．A【解析】试题分析：∵2212(1)0xxx，∴A正确；∵22222xxxx，∴B错误；考点：基本不等式．3．A【解析】试题分析：因为0,0xy，且131xy，所以1323232(2)()772726yxyxxyxyxyxyxy，选A.考点：基本不等式4．B.【解析】试题分析：0cos23,30ABACABACABAC4ABAC1sin12ABCSABACAM是ABC内一点，MBC,MCA和MAB的面积分别为1,,2xy，112xy12xy又0,0xy114144()()()552292yxxyxyxyxy本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总6页1418xy，选B.考点：1、向量的数量积；2、正弦定理求三角形的面积；3、利用均值不等式求最值.5．B【解析】试题分析：由已知22()(2)fxxbaxab是偶函数，则x的奇次幂前的系数220ba即222ab，且0b，此时函数图象与y轴交点的纵坐标为222()2abab，当且仅当1ab时，等号成立，即最大值为2.考点：1、二次函数是偶函数即一次项的系数为零；2、利用重要不等式222abab求最值.6．当，时，的最小值为18.【解析】试题分析：首先可确定2x，即20x，816822xxyxxxx16(2)102xx，下面根据基本不等式就可得到结论．考点：基本不等式求最小值．7．4【解析】lg2x＋lg8y＝xlg2＋3ylg2＝lg2，∴x＋3y＝1，∴113xy＝113xy·(x＋3y)＝2＋33yxxy≥4，当且仅当x＝12，y＝16时取等号．8．8433【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总6页当直线(0,0)zaxbyab，过直线20xy与直线360xy的交点(4,6)时，目标函数(0,0)zaxbyab取得最大6，即466ab，即233ab，而12ab＝122384()()333abbaabab843338433．考点：简单线性规划的应用；基本不等式的应用．9．256【解析】试题分析：约束条件036020xyoxyxy的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a0,b0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=632b，（23ab）（2a+3b）,4+9+66baab25，（当56ab时，等号成立），所以23ab256，即23ab的最小值是256.考点：1.线性规划；2.基本不等式的性质.10．1本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总6页【解析】试题分析：设,ABcACb，由2ACAB，则4bc，∴12ADABAC=22122ABACABAC22142bc1242bc1.考点：1、数量积的定义；2、向量的模；3、重要不等式.11．263【解析】试题分析：24xyxy42yxy,由402yxy得04y.所以46(2)3263.22yxyyyyy当且仅当262(0,4]y取等号.二元关系不明确时，可利用消元，揭示本质，注意消元时隐含范围的挖掘.考点：基本不等式.12．32【解析】试题分析：因为数列na为正项等比数列,设公比为q,则7652aaa25552aqaqa220qq解得:2q,1,q(舍)又211342mnaaaaa所以23mnaaa即6mn又11233mnmnmnmn又14414243mnmnmn考点：等比数列的性质应用,基本不等式.13．18【解析】解：由题意知三角形的面积为1，x＞0，y＞0，且x+y=12，∴2x+2y=1，14xy=（14xy）（2x+2y）=10+2y8xxy,又x＞0，y＞0,10+2y8x18xy,当x=11,y63取等号，故填写18.14．552【解析】解：因为1x，求本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总6页2231(1)5(1)5515255111xxxxyxxxx15．18【解析】解:因为正实数x,y，满足2x+y+6=xy226xy，则xyxy的最小值是1816．18【解析】解：函数120)2fxxxx（1）（根据二次函数的性质可知对称轴和开口方向以及定义域得到其最大值为1817．8【解析】等比数列{}na中1845454516,160,28naaaaaaaaa18．2,【解析】19．[9,)【解析】由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。20．（1）23（2）－2【解析】(1)因为(2a＋c)BC·BA＋cCA·CB＝0，所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.因为sin(B＋C)＝sinA≠0，所以cosB＝－12，所以B＝23.(2)因为b2＝a2＋c2－2accos23，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以AB·CB＝accos23＝－12ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以AB·CB的最小值为－2.本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总6页21．（1）3（2）3，等边三角形【解析】(1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋3cosA)－32＝0.所以122cosA－＋32sin2A－32＝0，即32sin2A－12cos2A＝1，即sin26A＝1.因为A∈(0，π)，所以2A－6∈11,66.故2A－6＝2，A＝3.(2)由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.又S△ABC＝12bcsinA＝34bc，而b2＋c2≥2bcbc＋4≥2bcbc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，所以S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤34×4＝3.当△ABC的面积取最大值时，b＝c.又A＝3，故此时△ABC为等边三角形．22．(1)B=π3(2)2【解析】解:(1)由正弦定理可得sinA=12sinC+sinBcosC,又因为A=π-(B+C),所以sinA=sin(B+C),可得sinBcosC+cosBsinC=12sinC+sinBcosC,又sinC≠0,即cosB=12,所以B=π3.(2)因为S△ABC=3,所以12acsinπ3=3,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.所以b2≥4,即b≥2,所以b的最小值为2.