15-1傅里叶级数

返回后页前页§1傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.返回一、三角级数·正交函数系三、收敛定理二、以为周期的函数的傅里叶级数2返回后页前页一、三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数sin()(1)yAx来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,其中A为振幅.为初相角,为角频率,于是简谐振动y的周期是2π.T较为复杂的周期运动,则常常是几个简谐振动sin(),1,2,,kkkyAkxkn的叠加：返回后页前页11sin().(2)nnkkkkkyyAkxky2π,1,2,,,TTknk由于简谐振动的周期为对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数01sin().(3)nnnAAnx若级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运动现象.返回后页前页11对于级数(3),只须讨论(如果可用x代换x)的情形.由于sin()sincoscossin,nnnnxnxnx所以01sin()nnnAAnx01(sincoscossin).(3)nnnnnAAnxAnx00,sin,cos,1,2,,2nnnnnnaAAaAbn记01sin().(3)nnnAAnx返回后页前页01(cossin).(4)2nnnaanxbnx它是由三角函数列(也称为三角函数系)1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(5)xxxxnxnx所产生的一般形式的三角级数.容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以为周期的函数.2π则级数()可写成301(sincoscossin).(3)nnnnnAAnxAnx返回后页前页定理15.1若级数01||(||||).2nnnaab收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证对任何实数x,由于|cossin|||||,nnnnanxbnxab根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:01(cossin).(4)2nnnaanxbnx返回后页前页为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所有函数具有共同的周期2π.1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(5)xxxxnxnx01(cossin).(4)2nnnaanxbnx返回后页前页其次,在三角函数系(5)中,任何两个不相同的函数ππππcosdsind0,(6)nxxnxxππππππcoscosd0(),sinsind0(),(7)cossind0.mxnxxmnmxnxxmnmxnxx的乘积在上的积分等于零,即[,]1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(5)xxxxnxnx返回后页前页而(5)中任何一个函数的平方在[-π,π]上的积分都不等于零,即ππ22πππ2πcosdsindπ,(8)1d2πnxxxxx1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(5)xxxxnxnx返回后页前页[,]ab若两个函数与在上可积,且()()d0baxxx[,]ab[,]ab则称与在上是正交的,或在上具有正由此三角函数系(5)在[π,π]上具有正交性.或者说(5)是正交函数系.1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(5)xxxxnxnx交性.返回后页前页现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f与级数(4)的系数0,,nnaab之间的关系.定理15.2若在整个数轴上01()(cossin)(9)2nnnafxanxbnx且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:ππ1()cosd,0,1,2,,(10)πnafxnxxna二、以为周期的函数的傅里叶级数2ππ1()sind,1,2,,(10)πnbfxnxxnb返回后页前页证由定理条件,函数f在[,]上连续且可积.对(9)式逐项积分得ππ()dfxxπππ0πππ1d(cosdsind).2nnnaxanxxbnxx由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.所以π00π()d2ππ,2afxxa即π0π1()d.πafxx01()(cossin)(9)2nnnafxanxbnx返回后页前页又以coskx乘(9)式两边(k为正整数),得0()coscos2afxkxkx1(coscossincos).(11)nnnanxkxbnxkx从第十三章§1习题4知道,由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛.于是对级数(11)逐项求积,有01()(cossin)(9)2nnnafxanxbnx返回后页前页ππ()cosdfxkxxππ0ππ1cosd(coscosd2nnakxxanxkxx由三角函数的正交性,右边除了以ka为系数的那一项积分π2πcosdπkxx外,其他各项积分都等于0,于是得出:ππ()cosdπ(1,2,).kfxkxxakππsincosd).nbnxkxx返回后页前页即ππ1()cosd(1,2,).πkafxkxxk同理,(9)式两边乘以sinkx,并逐项积分,可得ππ1()sind(1,2,).πkbfxkxxk返回后页前页2π[,]由此可知,若f是以为周期且在上可积的nanb函数,则可按公式(10)计算出和,它们称为函数f(关于三角函数系(5))的傅里叶系数,以f的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数,记作01()(cossin).(12)2nnnafxanxbnx这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数,由定理15.2知道:若(9)式右边的三角级数在整返回后页前页个数轴上一致收敛于和函数f,则此三角级数就是f的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为函数f出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛.如果收敛,是否收敛于f本身.这就是下一段所要叙述的内容.等号.然而,若从以为周期且在[π,π]上可积的2π返回后页前页Fourier级数10)sincos(2nnnnxbnxaa问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件返回后页前页[π,π][π,π],x函数f在上按段光滑,则在每一点f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即01(0)(0)(cossin),22nnnafxfxanxbnx,nnab其中为f的傅里叶系数.定理15.3(傅里叶级数收敛定理)若以为周期的2π三、收敛定理返回后页前页注尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对函数的要求却比幂级数要低得多,所以应用更广.而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.返回后页前页概念解释1.若f的导函数在[,]ab上连续,则称f在[a,b]上光滑.2.如果定义在[,]ab上函数f至多有有限个第一类间断点,其导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续,并且在这有限个点上导函数f的左、右极限存在,则称f在[,]ab上按段光滑.返回后页前页在[a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质:(i)f在[,]ab上可积.[,]ab(0)fx(ii)在上每一点都存在,如果在不连续()(0)fxfx()(0)fxfx点补充定义,或,则还有00()(0)lim(0),(13)()(0)lim(0),ttfxtfxfxtfxtfxfxt返回后页前页f[,]ab(iii)在补充定义在上那些至多有限个不存在ff导数的点上的值后(仍记为),在[a,b]上可积.从几何图形上讲,在区间[a,b]上按段光滑光滑函数,是由有限个多有有限个第一类间断点与角点(图15-1).光滑弧段所组成,它至151图Oxb()yfx1x2xa3x4xy返回后页前页收敛定理指出,f的傅里叶级数在点x处收敛于在f该点的左、右极限的算术平均值(0)(0);2fxfx而当f在点x连续时,则有(0)(0)(),2fxfxfx即此时f的傅里叶级数收敛于()fx.这样便有上按段光滑,则f的傅里叶级数在(,)上收敛于f.推论若f是以为周期的连续函数,且在[π,π]2π返回后页前页所以系数公式(10)中的积分区间[π,π]可以改为长2π2π1()cosd0,1,2,,π(10)1()sind1,2,,πcnccncafxnxxnbfxnxxn其中c为任何实数.注1根据收敛定理的假设,f是以为周期的函数,2πnanb度为的任何区间,而不影响,的值:2π返回后页前页设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为xxxf0,10,1)(解:先求傅里叶系数00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将f(x)展成傅里叶级数.oyx11例1.返回后页前页00dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,,0,(xx返回后页前页77sinx]99sinx根据收敛定理可知,时,级数收敛于021133sinsin4)(xxxf55sinxoyx11说明:返回后页前页xoy上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设f(x)是周期为2的周期函数,它在例2.返回后页前页),2,1(nxnxxfbndsin)(1nn1)1(),2,1(k12knkn2,00dsin1xnxx4cosx2xsinx2sin213sin3cosxx23231x4sin415sin5cosxx252512cos1nnan,2)12(2k),2,1,0,)12(,(kkxx说明:当)12(kx时,级数收敛于22)(0返回后页前页周期延拓)(xF傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法),[,)(xxf,)2(kxf其它返回后页前页解函数f及其周期延拓后的图像如图15-3所示,显然f是按段光滑的.153图Oyx()yfxπ3ππ3π5π2π2π4ππ故由傅里叶级数收敛定理,它可以展开成傅里叶级数.由于例1设,0π,()0,π0,xxfxx