矩阵的分解及其应用

学士学位论文（设计）Bachelor’sThesis论文题目矩阵分解及其应用作者姓名张志敏学号2011111010156所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称袁永新教授论文答辩时间2015年5月21日编号2015110156研究类型理论研究分类号O24学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：矩阵分解及其应用外文题目：MatrixDecompositionsanditsApplications学生姓名张志敏学生学号2011111010156院系专业数学与应用数学学生班级1101学生承诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年月日目录1.前言....................................................................22.矩阵分解...............................................................32.1矩阵的三角分解.....................................................32.1.1矩阵的三角分解基本概念...........................................32.1.2三角分解的应用...................................................82.2矩阵的满秩分解....................................................162.2.1矩阵的满秩分解基本概念........................................162.2.2矩阵的满秩分解及其应用..........................................182.3矩阵的谱分解.......................................................212.3.1矩阵的谱分解的基本概念..........................................212.3.2矩阵谱分解的应用................................................232.4矩阵的奇异值分解...................................................252.4.1矩阵的奇异值分解基本概念........................................252.4.2矩阵的奇异值分解的应用..........................................263．参考文献..............................................................28湖北师范学院数学与统计学院2015届学士学位论文（设计）1矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和。在线性代数中，借助于矩阵分解时常可用来解决各种复杂的问题。矩阵分解理论在统计学，结构动力学等专业领域也有重要的作用。本文介绍了矩阵的三角分解，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解和矩阵的奇异值分解以及它们的应用，并给出了求解这些分解的实例。关键词:矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的谱分解；矩阵的奇异值分解中国分类号：O24MatrixDecompositionsanditsApplicationsZhangZhimin（Tutor:YuanYongxin）(CollegeofMathematicsandStatistics,HubeiNormalUniversity,Huangshi,Hubei,435002)Abstract:Matrixdecompositionmeansthatamatrixisexpressedasproductorsumofseveralmatriceswithsimplestructuresorwithspecialproperties.Inlinearalgebra,itcanbeusedtosolvethecomplicatedproblems.Matrixdecompositiontheoryplaysanimportantroleinstatistics,structuraldynamicsandotherprofessionalfields.Thisarticlediscussesthetriangulardecompositionofmatrices,thefullrankdecompositionofmatrices,spectraldecompositionofmatricesandthesingularvaluedecompositionofmatrices.Someexamplesareprovidedtosolvethesematrixdecompositions.Keywords:Triangulardecomposition;Fullrankdecomposition;Spectraldecomposition;Singularvaluedecomposition湖北师范学院数学与统计学院2015届学士学位论文（设计）2矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言矩阵是数学研究中一类重要的工具，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及计算数学的发展起了重要作用。本文介绍了矩阵的三角分解，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解及矩阵的奇异值分解。对于矩阵的三角分解ALU，本文从证明矩阵的A=LDU的惟一性来求解矩阵的三角分解，最后将矩阵三角分解用于求解线性方程组Ax=b。对于满秩分解，本文提出了求解满秩分解的多种方法，对于方阵可以用初等行变换和初等列变换来求解满秩分解，也可以将矩阵化为Hermite标准型然后加以求解，而对于一般矩阵只能将矩阵化为Hermite标准型来求解，矩阵的满秩分解用于求解矩阵的广义逆。对于矩阵的谱分解，本文介绍了矩阵的谱分解及其性质，并介绍了矩阵多项式的谱分解问题。对于矩阵的奇异值分解，本文介绍矩阵的奇异值分解，以及运用矩阵的奇异值来求解矩阵的Moore-Penrose广义逆。湖北师范学院数学与统计学院2015届学士学位论文（设计）32.矩阵分解2.1矩阵的三角分解2.1.1矩阵三角分解的基本概念定义2.1设nnAR,如果存在,nnLUR分别是下三角矩阵和上三角矩阵使得A=LU，则称A可作三角分解。定义2.2设nnAR1)如果存在单位下三角矩阵L，对角矩阵D，单位上三角矩阵U使得ALDU，则称ALDU为矩阵A的LDU分解。2)如果存在下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,使得ALU，则称此三角分解为矩阵A的克劳特分解。3)如果存在上三角矩阵~U，单位下三角矩阵L，使得~ALU，则称此三角分解为矩阵A的杜利特分解。用Gauss消元法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵。若只用第i行乘数k加到第j行ij型初等变换能把A化为上三角矩阵U，则有下三角型可逆矩阵P，使PAU，从而有LU分解1APULU。我们知道用Gauss定理得到的LU分解一般不是惟一的，下面讨论LU分解、LDU分解的存在性和惟一性。定理2.1n阶非奇异矩阵A可作三角分解的充要条件是0kA1,2,,1kn,这里kA为A的k阶顺序主子式。证明必要性：设非奇异矩阵A有三角分解ALU,将其写成分块形式k12k1221222122220=0kAALUUAALLU这里kA，kL和kU分别为A，L和U的k阶顺序主子式。首先由0A知0L，0U，从而0kL，0kU；因此=0kkkALU1,2,,1kn。湖北师范学院数学与统计学院2015届学士学位论文（设计）4充分性：对阶数n作数学归纳法，当1n时,1A=（11a）=（1）（11a）（1），结论成立。设对nk时结论成立，即k=kkALU，其中kL和kU分别是下三角矩阵和上三角矩阵。若k0A，则由kA=kLkU易知kL和kU可逆。现证当1nk时结论也成立，事实上-1kkkkTT1T1-1k+1,1k1,1kkkc0c=10ckkk+1TkkkkkkALULArarUarUL.由归纳法原理知A可作三角分解。定理2.1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件,由于0110A不满足定理2.1的条件，所以它不能作三角分解。但110000110011211011202A。上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理2.1的条件。定理2.2设(),rank()()nnijAaRAkkn，如果A的顺序主子式0,1,2,,,jjk则A有LU分解。证明:设11A为A的k阶主子矩阵，将A分块为：11122122AAAAA，则11A为可逆矩阵，且各阶主子式非0，由定理2.1知11A有LU分解111111ALU，其中11L和11U均为可逆矩阵。又因为rank()Ak，在所设条件下，A的前k行线性无关，后()nk行是前k行的线性组合，即存在()nkkBR，21112212,.ABAABA取11212111121112,LAUULA，令22L与22U分别是下三角矩阵和上三角矩阵，满足22220LU（例如取22L为对角阵，取220U），则可以得到下三角矩阵L和上三角矩阵U如下：湖北师范学院数学与统计学院2015届学士学位论文（设计）51111122122220,0LUULULLU注意11111211111212211121111121(),,LULLAALUAUUA111211222222111111211111212220LULUAULABAAABAA从而1111111211122111211222222122LULUAALULULULUAA，即ALU,A有LU分解。另外，定理2.2中0j是A有LU分解的充分条件并不必要。例如000011121101A，所以A有LU分解，但10。首先指出，一个方阵的三角分解不是唯一的。杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解，其实，方阵的三角分解有无穷多，这是因为如果D是行列式不为零的任意对角矩阵,有1()()ALDDULU,其中,LU也分别是下、上三角矩阵，从而ALU也是A的一个三角分解。因D的任意性，所以三角分解不唯一。这就是A的分解式不唯一性问题，需规范化三角分解。定理2.3（LDU分解）设A为n阶方阵，则A可以唯一地分解为A=LDU的充分必要条件是A的前1n个顺序主子式0kA1,2,,1kn。其中L,U分别是单位下、上三角矩阵，D是对角矩阵=diagD12,,,nddd，1kkkAdA1,2,,kn,01A