测量误差的基本知识

重庆交通大学课件1/39第五章测量误差的基本知识本章重点：1、偶然误差的特点2、评定精度的指标3、中误差的计算4、误差传播定律本章难点：1、中误差的计算2、误差传播定律重庆交通大学课件2/39一、概述1、误差的概念测量误差(△)=真值（X）-观测值（L）从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1)对同一量多次观测，其观测值不相同。2)观测值不等于理论值：三角形α+β+γ≠180°闭合水准∑h≠0重庆交通大学课件32、测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。所以，测量误差主要来自以下三个方面：(1)外界条件主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。(2)仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。(3)观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。重庆交通大学课件4/39通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。重庆交通大学课件5/391）系统误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005m，则每量一尺，就带有+0.005m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。3、测量误差的分类测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。重庆交通大学课件6/39再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为，它与水准仪至水准尺之间的距离S成正比，所以这种误差按某种规律变化。系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响。计算改正、观测方法、仪器检校/si重庆交通大学课件7/392）偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果单个误差出现的大小和符号均不一定(无规律)，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶然误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。不可避免，无法消除，有互补性重庆交通大学课件8◆粗差与多余观测1、粗差：因读错、记错、测错造成的错误，并非误差。2、多余观测：观测某未知量时进行的多于必要观测数外的观测。目的：发现错误，剔除粗差；提高观测质量，进行精度评定。多余观测为什么不多余？（为什么要进行多余观测）重庆交通大学课件9二、偶然误差的统计特性在某测区，等精度观测了217个三角形的内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明：当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。重庆交通大学课件100.0000.00000.0020.0051２４“～２７＂0.1680.5031090.1660.5108总和0.0030.00920.0030.0092２１“～２４＂0.0090.02860.0080.0235１８“～２１＂0.0120.03780.0120.0398１５“～１８＂0.0150.046100.0180.05512１２“～１５＂0.0250.074160.0220.06514９“～１２＂0.0280.083180.0230.06915６“～９＂0.0310.092200.0320.09721３“～６＂0.0450.134290.0460.13830０“～３＂频率个数频率个数为负值为正值误差的区间kknknkdnkdnk重庆交通大学课件1111-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24dnk◆在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值◆绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；◆绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；◆偶然误差的数学期望为零，即0][lim,0)(nEnef22221)(正态分布曲线偶然误差具有正态分布的特性重庆交通大学课件12/39第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的“密集性”，即越是靠近0″，误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评定其精度高低的方法。重庆交通大学课件13◆测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，是使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。三、评定精度的标准xy精度较高精度较低重庆交通大学课件141、中误差中误差的定义：[]mn76.4,86.2mm乙甲（n为有限个数时的标准差）nn22221方差的定义：nEDn][lim)()(2标准差的定义：+50+2-4-1-7+6乙组-3-1-2+2+5甲组真误差134562134562例:XLnEDn][lim)()(22问题：真值X不知道时怎么办？如何计算m？重庆交通大学课件15◆算术平均值（最或然值，最或是值）12[]nllllxnn1122,,nnXlXlXl设某量的真值为Ｘ，n个观测值为，其相应的真误差为：12,,...nlll12,,,n将等式两端分别相加并除以n，则：[][]lXXxnn由偶然误差的第四特性可得，当时，即：~n[]~0n~xX重庆交通大学课件16◆观测值的该正数观测值的改正数v是算术平均值与观测值之差，即1122,,,nnvxlvxlvxl将等式两端分别相加，得：[][]vnxl[]0v[]lxn即一组等精度观测值的改正值之和恒等于零[]1vvmn用改正数计算中误差公式（白塞尔公式）：n][m重庆交通大学课件17)()()(2211xXvxXvxXvnn)()(][][xXnxXnvnxX][)(　22][][nvvv222221222121312[]()2()nnnXxnnn222][)(nxX1][][nvvnnvv][][][[]1vvmnn][mnnlXlXlX2211111111lxvlxvlxv重庆交通大学课件18课堂练习在相同的观测条件下，对某直线进行了五次测量，测量结果分别为:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求该直线边长的观测值中误差。次数观测值(m)改正数V(mm)VV计算过程1117.2552117.2583117.2464117.2615117.250[]lxnvxl[]1466.04151vvmmmn-1-48-74586.270116644916146117.254重庆交通大学课件192、容许误差mm23或容定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。区别误差和错误的界限中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。%7.99)33(%5.95)22(%3.68)(mmPmmPmmP重庆交通大学课件203、相对误差相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比，通常以分子为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:NmDDmK11一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。重庆交通大学课件21/39对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来(间接观测值），这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在角度测量中，水平角α=b-a，则水平角α就是直接观测值a和b的函数等等。本节所要讨论的就是在直接观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数值（间接观测值）中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。四、误差传播定律重庆交通大学课件221、一般函数的中误差令的系数为，(3)式为：ixiixFf由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：nnxxFxxFxxF2211(3)代入(2)得ixidxdz对(1)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(2)设有函数：),,,(21nxxxFZ为独立观测值ix设有真误差，函数也产生真误差ixixZ(1)重庆交通大学课件23)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(4)对(4)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(5)对K个(5)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(6)重庆交通大学课件24njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(6)(6)式两边除以K，得(7)式：(7)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjinKxfKxfKxfKnn22222221212即22222221212xnnxxzmfmfmfm(8)重庆交通大学课件2522222221212xnnxxzmfmfmfm(8)考虑，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121