二重积分的对称性

例设积分区域D关于x轴对称，D1是D中对应于y≥0的部分，证明：是偶函数，即关于若被积函数),()1(yyxf).,(),(yxfyxf.),(2),(1dyxfdyxfDD则是奇函数，即关于若被积函数),()2(yyxf).,(),(yxfyxf.0),(dyxfD则例设积分区域D关于x轴对称，D1是D中对应于y≥0的部分，证明：是偶函数，即关于若被积函数),()1(yyxf).,(),(yxfyxf.),(2),(1dyxfdyxfDD则证（1）积分区域如图：).()(,:21xyyxybxaD由积分区域D关于x轴对称性).()(21xyxyoxyab)(1xyy)(2xyy1D)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdyxfdxdyyxfbaxyxy)()(22),(是偶函数关于),()()(22yfdyyxfxyxy)(02),(2xydyyxf证（1）积分区域如图：).()(,:21xyyxybxaD由积分区域D关于x轴对称性).()(21xyxyoxyab)(1xyy)(2xyy1D)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdyxfdxdyyxfbaxyxy)()(22),(是偶函数关于),()()(22yfdyyxfxyxy)(02),(2xydyyxf于是，dyxfD),(dxdyyxfbaxyxy)()(22),(dxdyyxfbaxy)(02),(2dyxfD),(21是奇函数，即关于若被积函数),()2(yyxf).,(),(yxfyxf.0),(dyxfD则证（2）积分区域如图：).()(,:21xyyxybxaD由积分区域D关于x轴对称性).()(21xyxy)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdyxfoxyab)(1xyy)(2xyy1Ddxdyyxfbaxyxy)()(22),(是奇函数关于),()()(22yfdyyxfxyxy.0证（2）积分区域如图：).()(,:21xyyxybxaD由积分区域D关于x轴对称性).()(21xyxy)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdyxfoxyab)(1xyy)(2xyy1D)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdyxfdxdyyxfbaxyxy)()(22),(是奇函数关于),()()(22yfdyyxfxyxy.0于是，dyxfD),(dxdyyxfbaxyxy)()(22),(dxba020.积分区域D关于x轴对称，D1是D中对应于y≥0的部分，则：是偶函数，即关于若被积函数),()1(yyxf).,(),(yxfyxf.),(2),(1dyxfdyxfDD则是奇函数，即关于若被积函数),()2(yyxf).,(),(yxfyxf.0),(dyxfD则是偶函数y是奇函数y二重积分的轮换对称性：积分区域D关于y轴对称，D1是D中对应于x≥0的部分，则：是偶函数，即关于若被积函数),()1(xyxf).,(),(yxfyxf.),(2),(1dyxfdyxfDD则是奇函数，即关于若被积函数),()2(xyxf).,(),(yxfyxf.0),(dyxfD则是偶函数x是奇函数x103页2（2）.4:,)2(222轴围成的右半闭区域及yyxDdxyDxyo22422yx1D解D区域关于x轴对称，且.),(2xyyxf设),,(),(yxfyxfdxydxyDD1222而.20,40:21yyxDdxydxyDD1222而.20,40:21yyxDdxydxyDD1222因此，.1564dxxydyy24022022022)4(dyyy103页2（3）.1:,)3(yxDdeDyx解xyo1111xy11xyxy11xy1DdeDyxdeDyx12×103页2（3）.1:,)3(yxDdeDyx解deDyxdedeDyxDyx21dyeedxdyeedxxxyxxxyx11101101101201112)()(dxeedxeexx.1eexyo1111xy11xyxy11xy2D1Do