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三、布拉克----斯克尔斯期权定价模型（一）假设【提示】假设看涨期权只能在到期日执行，即模型仅适用于欧式期权；假设不发股利，如果发股利，模型需要调整。(二)公式基本模型三个公式：tσddtσtσ/PV(X)]LN[Stσ)]t/(σ[r/X)LN(Sd)]PV(X)[N(d)][N(dS)][N(dXe)][N(dSCctrc−=+=++=−=−=−120201210210022其中：C0=看涨期权的当前价值；S0=标的股票的当前价格N（d）=标准正态分布中离差小于d的概率；X=期权的执行价格；e≈2.7183；rc=无风险利率t=期权到期日前的时间（年）；ln(S0/x)=S0/x的自然对数；σ2=股票回报率的方差（三）参数估计1．无风险利率：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。这里所说的国库券利率是指其市场利率，而不是票面利率。模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率。如果用F表示终值，P表示现值，rc表示无风险利率，t表示时间（年）：则：F＝P×，即：rc＝[ln（F/P）]/t【提示】为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值。使用年复利时，也有两种选择：（1）按实际复利率折算：例如：假设年实际复利率为4%，则半年复利率为（2）按名义利率折算：例如，假设年名义复利率为4%，则半年复利率为4%÷2＝2%。2．股票收益率的标准差可以使用历史收益率来估计。指收益率的连续复利值其中：t12R)(11∑=−−=nttRRnσ期的股利。是期的价格；是期的价格；是时期的收益率；指股票在其中：：连续复利的股票收益率tD1-tPttRPDPlnRt1ttitttt−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=tP【提示】根据d求N（d）的数值时，可以查教材后附的“正态分布曲线面积表”。由于表格的数据是不连续的，有时需要使用插补法计算更准确的数值。当d为负值时，对应的N（d）=1-N(-d),例如N（-0.35）=1-N(0.35)=1-0.6368=0.3632。【例题10·计算分析题】2009年8月15日，甲公司股票价格为每股50元，以甲公司股票为标的的代号为甲49的看涨期权的收盘价格为每股5元，甲49表示此项看涨期权的行权价格为每股49元。截至2009年8月15日，看涨期权还有l99天到期。甲公司股票收益的波动率预计为每年30％，资本市场的无风险利率为（有效）年利率7％。要求：（1）使用布莱克--斯科尔斯模型计算该项期权的价值(dl和d2的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数，一年按365天计算)。（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克--斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。（2009新）【答案】（1）执行价格的现值为PV(k)=49/(1+7%)199/365=47.2244[][]15.03651993.037.037.022215.02215.00583.023651993.03651993.02244.47/50ln2)(/ln121=−=−==+=+=+=TddTTkPVSdσσσ将以上参数代入布莱克—斯科尔斯公式中得到，C=S×N（d1）-PV(k)×N(d2)=50×0.6443-47.2244×0.5596=5.79(元)（2）由于该看涨期权的收盘价格为每股5元，小于计算得出的期权的价值5.79元，因此可以买入该项看涨期权。（四）看跌期权估价关系公式对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立看涨期权价格C-看跌期权价格P=标的资产的价格S0-执行价格的现值PV（X）【例题11·计算分析题】A公司的普通股最近一个月来交易价格变动很小，投资者确信三个月后其价格将会有很大变化，但是不知道它是上涨还是下跌。股票现价为每股100元，执行价格为100元的三个月看涨期权售价为10元（预期股票不支付红利）。（1）如果无风险实际利率为每年10%，执行价格100元的三个月的A公司股票的看跌期权售价是多少（精确到0.0001元）？（2）投资者对该股票价格未来走势的预期，会构建一个什么样的简单期权策略？价格需要变动多少（精确到0.01元），投资者的最初投资才能获利？【答案】（1）根据看涨-看跌期权关系公式：看跌期权价格=看涨期权价格-股票现价+执行价格/（1+R）t=10-100+100/（1.10）0.25=-90+100/1.0241137=-90+97.6454=7.6454（元）（2）购买一对敲组合，即1股看跌期权和1股看张期权总成本=10+7.6454=17.6454（元）股票价格移动=17.6454×（1.10）0.25=18.07（元）（五）派发股利股利的现值是股票价值的一部分，但是只有股东可以享有该收益，期权持有人不能享有。因此，在期权估价时所有到期日前预期发放的未来股利视同已经发放，将这些股利的现值从现行股票价格中扣除。此时，模型建立在调整后的股票价格而不是实际价格的基础上。一种简单的作法，用S0-PV（股利）代替布莱克—斯科尔斯期权定价模型的S0，正确的作法应用下式求解。（六）美式期权估价美式期权在到期前的任意时间都可以执行，享有欧式期权的全部权力之外，还有提前执行的优势。因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。