数字信号处理

第一次讨论课内容（1）时域信号（a）如何由模拟信号产生时域离散信号；模拟信号：信号的自变量和函数值都为连续值。一段连续的时间间隔内，其代表信息的特征量可以在任意瞬间呈现为任意数值的信号。时域离散信号：自变量取离散值，函数值取连续值。离散信号是一个序列，即其自变量是“离散”的。这个序列的每一个值都可以被看作是连续信号的一个采样。模拟信号()axt，以采样间隔T对它进行等间隔采样，得到时域离散信号()xn。即：()()|()atnTaxnxtxnTn(n取整数，...,0,1,2,3,...n)采样是将时间上、幅值上都连续的模拟信号，在采样脉冲的作用，转换成时间上离散（时间上有固定间隔）、但幅值上仍连续的离散模拟信号。所以采样又称为波形的离散化过程。对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关的作用等效成一宽度为，周期为T的矩形脉冲串()Tpt，采样信号ˆ()axt就是()axt与()Tpt相乘的结果。理想采样：0，脉冲串变为单位冲激串()pt。()pt中每个单位冲激处在采样点上，强度为1，理想采样是()axt与()pt相乘的结果。即：()()npttnTˆ()()()()()aaanxtxtptxttnT式中()t是单位冲激信号，上式只有在tnT时，才可能是非零值，所以可写成:ˆ()()()aanxtxnTtnT由模拟信号经采样产生时域离散信号的MATLAB程序：①一个连续的周期性三角波信号频率为50HZ，信号幅度在0~+2V之间，在窗口显示2个周期信号波形，对信号的一个周期进行16点采样来获取离散信号。代码：f=50;Um=1;ts=2;%输入信号的频率、振幅、显示周期N=16;%信号一个采样周期的采样点数为16T=1/f;%信号周期Tdt=T/N;%采样时间间隔n=0:ts*N-1;%建立离散时间的时间序列列tn=n*dt;%确定时间序列样点在时间轴上的位置y=Um*sawtooth(2*f*pi*tn,1/2)+1;%三角波subplot(2,1,1),stem(tn,y);%显示采样后的信号title('离散信号');subplot(2,1,2),plot(tn,y);%显示原连续信号title('连续信号');运行结果：②一个连续的周期性正弦信号频率为200Hz，信号幅度在-1~+1V之间，在窗口上显示2个周期信号波形，用Fs=4KHZ的频率对连续信号进行采样，试显示连续信号和采样获得的离散信号波形。代码：f=200;Um=1;nt=2;%输入信号的频率、振幅、显示周期Fs=4000;%采样频率N=Fs/f;%采样点数T=1/f;%信号周期dt=T/N;%采样时间间隔n=0:nt*N-1;%建立离散时间的时间序列tn=n*dt;%确定时间序列样点在时间轴上的位置y=Um*sin(2*f*pi*tn);%正弦波subplot(2,1,1),stem(tn,y);%显示采样后的信号title('离散信号');subplot(2,1,2),plot(tn,y);%显示原连续信号title('连续信号');运行结果：抽样定理是连续时间信号和离散时间信号之间的桥梁，在时域该系统实现了输入信号与抽样序列的相乘，完成了时间轴的离散，在频域实现了原信号频谱的周期延拓。在奈奎斯特抽样定理的条件下(抽样频率不小于被抽样带限信号最高频率的两倍)，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的样本来表示，在频率轴上实现了原信号频谱无混叠的周期化。采样定理：设连续信号的的最高频率为maxf，如果采样频率max2sff，那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。验证采样定理的MATLAB程序：画出连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为()sin(260)cos(225)cos(230)fxttt对信号进行采样，得到采样序列，绘制采样频率分别为80Hz，120Hz，150Hz时的采样序列波形；、对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。代码：%实现采样频谱分析绘图函数functionfz=caiyang(fy,fs)%第一个输入变量是原信号函数，信号函数fy以字符串的格式输入%第二个输入变量是采样频率fs0=10000;tp=0.1;t=[-tp:1/fs0:tp];k1=0:999;k2=-999:-1;m1=length(k1);m2=length(k2);f=[fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];%设置原信号的频率数组w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];fx1=eval(fy);FX1=fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w);%求原信号的离散时间傅里叶变换figure%画原信号波形subplot(2,1,1),plot(t,fx1,'r')title('原信号'),xlabel('时间t(s)')axis([min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)])%画原信号幅度频谱subplot(2,1,2),plot(f,abs(FX1),'r')title('原信号幅度频谱'),xlabel('频率f(Hz)')axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5])%对信号进行采样Ts=1/fs;%采样周期t1=-tp:Ts:tp;%采样时间序列f1=[fs*k2/m2,fs*k1/m1];%设置采样信号的频率数组t=t1;%变量替换fz=eval(fy);%获取采样序列FZ=fz*exp(-j*[1:length(fz)]'*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换figure%画采样序列波形subplot(2,1,1),stem(t,fz,'.'),title('取样信号'),xlabel('时间t(s)')line([min(t),max(t)],[0,0])%画采样信号幅度频谱subplot(2,1,2),plot(f1,abs(FZ),'m')title('取样信号幅度频谱'),xlabel('频率f(Hz)')functionfh=huifu(fz,fs)%第一个输入变量是采样序列%第二个输入变量是得到采样序列所用的采样频率T=1/fs;dt=T/10;tp=0.1;t=-tp:dt:tp;n=-tp/T:tp/T;TMN=ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));fh=fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号k1=0:999;k2=-999:-1;m1=length(k1);m2=length(k2);w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];FH=fh*exp(-j*[1:length(fh)]'*w);%恢复后的信号的离散时间傅里叶变换figure%画恢复后的信号的波形subplot(2,1,1),plot(t,fh,'g'),st1=sprintf('由取样频率fs=%d',fs);st2='恢复后的信号';st=[st1,st2];title(st),xlabel('时间t(s)')axis([min(t),max(t),min(fh),max(fh)])line([min(t),max(t)],[0,0])%画重构信号的幅度频谱f=[10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];%设置频率数组subplot(2,1,2),plot(f,abs(FH),'g')title('恢复后信号的频谱'),xlabel('频率f(Hz)')axis([-100,100,0,max(abs(FH))+2]);%主函数f1='sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t)';%输入一个信号fs0=caiyang(f1,80);%欠采样fr0=huifu(fs0,80);fs1=caiyang(f1,120);%临界采样fr1=huifu(fs1,120);fs2=caiyang(f1,150);%过采样fr2=huifu(fs2,150);运行结果：(1)采样频率max2sff时，为原信号的欠采样信号和恢复，采样频率不满足时域采样定理，那么频移后的各相临频谱会发生相互重叠，这样就无法将他们分开，因而也不能再恢复原信号。频谱重叠的现象被称为混叠现象。欠采样信号的离散波形及频谱、恢复后信号见下图。(2)采样频率max2sff时，为原信号的临界采样信号和恢复，下图为其采样的离散波形和频谱，从下图恢复后信号和原信号先对比可知，只恢复了低频信号，高频信号未能恢复。（3）采样频率max2sff时，为原信号的过采样信号和恢复，由图采样信号离散波形和频谱，可以看出采样信号的频谱是原信号频谱进行周期延拓形成的，从图采样恢复后的波形和频谱，可看出与原信号误差很小了，说明恢复信号的精度已经很高。(b)线性时不变系统输入和输出之间的关系设系统的输入用()xn表示，表示成单位脉冲序列移位加权和为：()()()mxnxmnm则系统输出为：()[()()]mynTxmnm根据线性系统叠加性质：()()[()]mynxmTnm又根据时不变性质()()()()()mynxmhnmxnhn即：线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积。验证例子：设模拟正弦信号：0()sin(2)axtft，现以T为周期，对其进行采样，得到正弦序列为：00()sin(2)sin(2/)sin(2)sin()sxnnfTnfFfnn其中f为数字频率，为数字角频率。产生信号：()sin(2),0,1/55axnfnnNfN取大于500设离散时间线性时不变系统为：()1,049hnn令()axn通过此系统MATLAB程序如下：n=0:500;xa=sin(0.0364*pi*n);figure(1);stem(n,xa,'.');xlabel('n');ylabel('xa(n)');hn(1:50)=1;y1=conv(xa,hn);figure(2);stem(y1,'.');xlabel('n');ylabel('y1(n)');y2=filter(hn,1,xa);figure(3);stem(y2,'.');axis([0,600,-20,20])xlabel('n');ylabel('y2(n)');运行结果：()axn的时域波性卷积conv方法：()axn通过系统的输出波形滤波Filter函数方法：通过系统的输出波形两种函数运行结果相同，证明了线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积。（2）离散傅立叶变换(a)离散傅立叶变换的性质；设()xn是一个长度为M的有限长序列，则定义()xn的N点离散傅里叶变换为：10()[()]()0,1,...,1NknNnXkDFTxnxnWkN1、线性性质如果两个有限长序列分别为1()xn和x2(n)，长度分别为N1和N2，且y(n)＝ax1(n)＋bx2(n)(a、b均为常数)则该y(n)的N点DFT为Y(k)＝DFT［y(n)］＝aX1(k)＋bX2(k)0≤k≤N－1其中：N＝max［N1，N2］，X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。验证线性性质例子：已知x1(n)＝［0，1，2，4］，x2(n)＝［1，0，1，0，1］，(1)y(n)＝2x1(n)＋3x2(n)，再由y(n)的N点DFT获得Y1(k)；(2)由x1(n)、x2(n)求X1(k)、X2(k)，再求Y2(k)＝2X1(k)＋3X2(k)。MATLAB程