第一章--集合与函数概念--复习课之国庆前实验班选讲

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系二：集合间的基本关系三：集合的基本运算★重、难点突破重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如)(xfyx、)(xfyy、)(),(xfyyx等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念问题：已知集合221,1,9432xyxyMxNy则MN=（）A.；B.)2,0(),0,3(；C.3,3；D.3,2[正解]C；显然33xxM，RN，故]3,3[NM(3)Venn图和数轴是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A4．集合的运算性质（1）BAABA；（2）ABABA；（3）交、并、补集的关系①ACAU；UACAU②)()()(BCACBACUUU；)()()(BCACBACUUU★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．6[解题思路]根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系[例2]．数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）A．XY；B．YX；C．YX；D．YX[解题思路]可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。[解析]从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。[新题导练]1．(2006•山东改编）定义集合运算:ByxxyyxBA,,zA22,设集合1,0A,3,2B,则集合BA的所有元素之和为[解析]18，根据BA的定义，得到12,6,0AB，故BA的所有元素之和为182．研究集合42xyxA，42xyyB，4),(2xyyxC之间的关系考点二：集合的基本运算8．集合{|10}Axax,2|320Bxxx,且ABB,求实数a的值.[解析]10,1,2；先化简B得,1,2B.由于ABBAB,故1A或2A.因此10a或210a,解得1a或12a.容易漏掉的一种情况是:A的情形,此时0a.故所求实数a的值为10,1,2.备选例题1：已知1xyyM，1),(22yxyxN，则NM中的元素个数是（）A.0；B.1；C.2；D.无穷多个[解析]选A;集合M表示函数1xy的值域,是数集,并且RM,而集合N表示满足122yx的有序实数对的集合,即表示圆122yx上的点,是点集。所以，集合M与集合N中的元素均不相同，因而NM，故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线1xy与圆122yx有两个交点误选C；或者误认为1xy中Ry，而122yx中11y，从而]1,1[NM有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。基础巩固训练：1．（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集R,(3)0,1UAxxxBxx,则右图中阴影部分表示的集合为()A．0xx；B．30xx；C．31xx；D．1xx[解析]C；图中阴影部分表示的集合是BA，而03xxA，故13xxBA综合提高训练：UBA6．01mmP,恒成立对于任意实数xmxmxRmQ0442则下列关系中立的是()A．PQ;B．QP;C．QP;D．QP[解析]A；当0m时，有0)4(4)4(02mmm，即01mRmQ；当0m时，0442mxmx也恒成立，故01mRmQ，所以PQ7.设)(12)(Nnnnf，5,4,3,2,1P，7,6,5,4,3Q，记PnfNnP)(ˆ，QnfNnQ)(ˆ，则)ˆˆ()ˆˆ(PCQQCPNN＝()A.3,0;B.2,1;C.5,4,3;D.7,6,2,1[解析]A；依题意得2,1,0ˆP，3,2,1ˆQ，所以0)ˆˆ(QCPN，3)ˆˆ(PCQN，故应选A8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义{}ABxxABxAB且，已知A=2{|2}xyxx，B={|2,0}xyyx，则A×B等于（）A．0,；B．0,12,；C．0,12,；D．0,1(2,)[解析]D；22002xxx，∴A=[0，2]，021xx，∴B=（1，＋∞），∴A∪B=[0,＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝0,1(2,)第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：(2)函数的定义域、值域(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域[误解]因为函数)(xfy的定义域为][ba，，所以bxa，从而222bxa故)2(xfy的定义域是]2,2[ba[正解]因为)(xfy的定义域为][ba，，所以在函数)2(xfy中，bxa2，从而22bxa，故)2(xfy的定义域是]2,2[ba即本题的实质是求bxa2中x的范围问题2：已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域[误解]因为函数)2(xfy的定义域是][ba，，所以得到bxa2，从而22bxa，所以函数)(xfy的定义域是]2,2[ba[正解]因为函数)2(xfy的定义域是][ba，，则bxa，从而222bxa所以函数)(xfy的定义域是]2,2[ba即本题的实质是由bxa求2x的范围即)(xf与)2(xf中x含义不同2．求值域的几种常用方法：观察法、配方法、基本函数法、换元法、图象法★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域题型2：求抽象函数的定义域题型3；求函数的值域[例4]已知函数)(6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域[解题思路]应先由已知条件确定a取值范围，然后再将)(af中的绝对值化去之后求值域[解析]依题意，0y恒成立，则0)62(4162aa，解得231a，所以417)23()3(2)(2aaaaf，从而4)1()(maxfaf，419)23()(minfaf，所以)(af的值域是]4,419[【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。[新题导练]函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则f(f(5))=_______。4．定义在R上的函数()yfx的值域为[,]ab，则函数(1)yfx的值域为()A．[1,1]ab；B．[,]ab；C．[1,1]ab；D．无法确定[解析]B；函数(1)yfx的图象可以视为函数()yfx的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的例题5函数1)(2xbaxxf的值域为[－1，4]，求实数a、b的值5．(2008江西改)若函数()yfx的定义域是]3,1[，则函数(2)()1fxgxx的定义域是[解析]]23,1()1,21[；因为()fx的定义域为]3,1[，所以对()gx，321x但1x故]23,1()1,21[x6．(2008江西理改)若函数()yfx的值域是]3,32[，则函数1()Fxfxfx的值域是[解析]]310,2[；)(xF可以视为以)(xf为变量的函数，令)(xft，则)332(1tttF2222)1)(1(111ttttttF，所以，ttF1在]1,32[上是减函数，在]3,1[上是增函数，故)(xF的最大值是310，最小值是2考点三：映射的概念8．若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.[解析]a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}；∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）,133,1024kaaa或（2）.13,10342kaaa∵a∈N，∴方程组（1）无解.解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.基础巩固训练：5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（）A．2||:,},0|{xyxfRBxxAB．2:},4{},2,0,2{xyxfBAC．21:},0|{,xyxfyyBRAD．2:},1,0{},2,0{xyxfBA[解析]D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合B的映射是D6．（09年执信中学）若函数234yxx的定义域为[0,]m,值域为25[4]4，，则m的取值范围是（）A．4,0；B．3[3]2，；C．3[]2，4；D．3[2，）[解析]B；因为函数234yxx即为425)23(2xy，其图象的对称轴为直线23x，其最小值为425，并且当0x及3x时，4y，若定义域为[0,]m，值域为25[4]4，，则323m综合提高训练：9．设函数21)(2xxxf的定义域是]1,[nn(n是正整数)，那么)(xf的值域中共有个整数[解析]22n；因为41)21(21)(22xxxxf，可见，)(xf在]1,[nn(n是正整数)上是增函数，又22)21(]21