17.3-复数的几何意义和三角公式(一)

1、形如的数叫复数，其中叫复数的实部，叫复数的虚部；当时为实数，当时为虚数，当时为纯虚数；全体复数构成的集合称为复数集，记作；(,)zabiabRab0b0b0,0ab相等互为相反数2、两个实部，虚部的复数称为共轭复数，即，则；biazzabi两个不相等两个相等一对共轭虚数1,22bxa1,22bixa1,22bxaC复习旧知3、对于实系数一元二次方程，记，当时，方程有的实数解；解为当时，方程有的实数解；解为当时，方程有解；解为02cbxaxacb42000（2,6）可以表示什么？问题情境探究一一个实数可以用数轴上的一点来表示，这个实数就是这个点的坐标。xo1一一对应规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数数轴上的点(形)(数)(几何模型)探究一复数是否也能用一种类似的方法来表示呢？(,)zabiabR复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）一一对应z=a+bi阿甘特图xyO),(baZr横坐标表示复数的实部纵坐标表示复数的虚部),(Rbabia复数可以用坐标系中的点),(baZ来表示探究一我们把横轴和纵轴（原点O除外）分别叫做实轴和虚轴。这样的平面直角坐标系叫做复平面。2、虚轴不包括原点；3、x轴上的点都表示实数；y轴(除去原点)上的点都表示纯虚数。用复平面内的点来表示复数，叫做复数的几何表示法。1、虚轴的单位和实轴一样都是1；注意：复平面例1在复平面内做出表示下列复数的点：iiiii22)6(32)5(22)4(2)3(4)2(4)1(解这些复数分别用点Z1(0,4)、Z2(4,0)、Z3(2,1)、Z4(-2,2)、Z5(2,-3)、Z6(-2,-2)来表示。例题解析6Z4Z5Z2Z3Z1Z-1-2-3-3-2-112344321xyOiiiii22)6(32)5(22)4(2)3(4)2(4)1()2,2()3,2()2,2()1,2()0,4()4,0(654321ZZZZZZ例题解析练习1、在复平面内作出表示下列复数的点：(1)0(2)2(3)12(4)(5)23(6)12iiiii1.表示纯虚数的点在复平面内的什么位置？2.表示实数的点在复平面内的什么位置？3.表示复数0的点在复平面内的哪个点？虚轴实轴坐标原点思考交流练习2、指出如图所示复平面内各点所表示的复数。7Z6Z4Z5Z3Z2Z1Z-1-2-3-3-2-112344321xyO探究二实数绝对值的几何意义是什么？通过类比，你能说出复数的绝对值（复数的模）的几何意义吗?探究二实数绝对值的几何意义:XOAa|a|=|OA|实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOy|z|=|OZ|复数的绝对值的几何意义:复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。(复数的模)Z(a，b))0()0(aaaa22baba一般地，复平面内表示复数的点Z（a,b）到坐标原点的距离叫做复数的模。记作，即),(Rbabiazz22baz当b=0时，z=a，于是，此时z的模等于实数a的绝对值。az复数的模与辐角以实轴正半轴为始边，OZ为终边的角叫做复数z的辐角。非零复数z=a+bi的辐角唯一吗？不唯一，有无数个复数的模与辐角xyO),(baZr'Z'以实轴正半轴为始边，OZ为终边的角叫做复数z的辐角。我们把复数z在内的辐角叫做辐角的主值，记作argz。以后所说的辐角指的是它的主值。],(规定：复数0的辐角是任意值。非零复数z=a+bi的辐角唯一吗？不唯一，有无数个复数的模与辐角复数1，i，-1，-i的辐角分别是多少？分别为2,,2,0思考交流例2求复数1+i的模与辐角。解：复数1+i可以用点Z（1,1）来表示；2112222baz111tanab4argz∵点Z在第一象限例题解析变题：求复数-1+i、-1-i、1-i的模与辐角。变题：求复数-1+i、-1-i、1-i的模与辐角。001zi变题：求复数-1+i的模与辐角。01zi011zi10变题：求复数-1-i的模与辐角。001zi21zi2变题：求复数1-i的模与辐角。001zi31zi3当复数z=a+bi≠0时，辐角可以由对应点Z（a,b）的位置确定，分别有如下两种情况：1、当点Z（a,b）在某个象限内时，其辐角可以由和点Z（a,b）所在象限确定；abtan2、当点Z（a,b）分别在正半实轴，负半实轴，正半虚轴，负半虚轴上时，其辐角分别为：2,2,,0归纳总结3、求下列复数的模和辐角。2)5(2321)4(3)3(22)2(3)1(iii0arg,3)1(zz4arg,22)2(zz2arg,3)3(zz32arg,1)4(zzzzarg,2)5(练习例3求证：2zzz证明：设biaz则zabi22))((babiabiazz22baz222baz2zzz例题解析4、设一元二次方程的一根为,求证：012xx1证明：因为034b2ac所以iiaib232123121)23()21(2222ba练习一、数学知识：二、数学思想：(1)复平面(2)复数的模(3)复数的辐角(2)数形结合思想(1)类比思想课堂小结课本P75习题1、3⑴⑸⑻布置作业