整理-数列总复习

第1页共8页数列总复习第一讲数列的概念与简单表示法题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：（1）1，0，1，0，…(2)7,77,777,7777，…(3)23，－415，635，－863，…(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…【变式训练1】如下表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，则a2008的值是()A.1B.2C.3D.4题型二求数列的通项公式的方法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。2.公式法：已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例2：已知{}na的前n项和满足2log(1)1nSn，求na；【变式训练2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求其通项公式：(1)Sn＝3n－2；(2)Sn＝18(an＋2)2(an＞0).第2页共8页3.累加法：若1()nnaafn求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。例3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。例4.已知数列{}na满足11a，nnaann111(2)n，则na=________；4.累乘法：已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例5.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。例6.已知数列}{na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na【变式训练3】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A.2n－1B.(n＋1n)n－1C.n2D.n【变式训练4】设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an.5.构造法（构造等差或等比数列）。形如1nnakab或1()nnakafn，例7.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.第3页共8页例8.已知数列na中，11a，1234nnaan，求na.例9.已知数列na中，11a，1122nnnaa，求na.6．倒数法：形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例10．1,13111aaaannn例11．已知数列满足1a=1，11nnnnaaaa，求na；总结提高1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.2.由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况.3.给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.4．熟练求数列通项的的几种简单形式。第4页共8页第二讲等差数列题型一等差数列的判定与基本运算【例1】已知数列{an}前n项和Sn＝n2－9n.(1)求证：{an}为等差数列；(2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求Tn的表达式.【变式训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S21＝42，若记bn＝1391122aaa，则数列{bn}()A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列题型二公式的应用【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.【变式训练2】在等差数列{an}中，公差d＞0，a2008，a2009是方程x2－3x－5＝0的两个根，Sn是数列{an}的前n项的和，那么满足条件Sn＜0的最大自然数n＝.题型三性质的应用【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【变式训练3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为.第5页共8页第三讲等比数列题型一等比数列的基本运算与判定【例1】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1,2,3，…).求证：(1)数列{Snn}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【变式训练1】等比数列{an}中，a1＝317，q＝－12.记f(n)＝a1a2…an，则当f(n)最大时，n的值为()A.7B.8C.9D.10题型二性质运用【例2】在等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*).(1)求an；(2)若Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan，求Tn.【变式训练2】在等差数列{an}中，若a15＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b19＝1，能得到什么等式？题型三综合运用【例3】设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－Sn，问是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，则求出a1的值；若不存在，说明理由.【变式训练3】已知命题：若{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m＜n，m、n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m.现在已知数列{bn}(bn＞0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，类比上述结论得bm＋n＝.第6页共8页第四讲数列求和题型一错位相减法求和【例1】求和：Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.【变式训练1】数列{2n－32n－3}的前n项和为()A.4－2n－12n－1B.4＋2n－72n－2C.8－2n＋12n－3D.6－3n＋22n－1题型二分组并项求和法【例2】求和Sn＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n－1).【变式训练2】数列1,1＋2,1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为()A.2n－1B.n·2n－nC.2n＋1－nD.2n＋1－n－2题型三裂项相消法求和【例3】数列{an}满足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1n(14－an)(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若对任意非零自然数n，Tn＞m32恒成立，求m的最大整数值.【变式训练3】已知数列{an}，{bn}的前n项和为An，Bn，记cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和为()A.A10＋B10B.A10＋B102C.A10B10D.A10B10第7页共8页强化训练一、选择题1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A．34B．35C．36D．372．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．－1B．1C．0D．23．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24B．27C．30D．334．等差数列{an}中，已知a1=－6，an=0，公差d∈N*，则n（n≥3）的最大值为（）A．5B．6C．7D．85．设an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项6．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（）A．180B．－180C．90D．－90７．设函数f（x）满足f（n+1）=2)(2nnf（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为（）A．95B．97C．105D．192８．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列９．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是（）A．15(0,)2B．15(,1]2C．15[1,)2D．)251,251(10．数列{}na的通项公式2nankn,若此数列满足1nnaa(nN),则k的取值范围是A,2kB,2kC,3kD,3k11．等差数列{}na,{}nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=A,23B,2131nnC,2131nnD,2134nn12．三个数cba,,成等比数列，且)0(mmcba，则b的取值范围是（）（A）]3,0[m（B）]3,[mm（C）)3,0(m（D）]3,0()0,[mm第8页共8页二、填空题13．在数列{an}中，a1=1，an+1=22nnaa（n∈N*），则72是这个数列的第_________项．14．在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________．15．在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______．16．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若nnTS=132nn，则1111ba=_________．三、解答题17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且.92),0,2(11aSnSSannnn（Ⅰ）求证：数列}1{nS为等差数列；（Ⅱ）求满足0na的自然数n的集合.18．已知数列}{na满足递推式)2(121naann，其中.154a（Ⅰ）求321,,aaa；（Ⅱ）求数列}{na的通项公式；（Ⅲ）求数列}{na的前n项和nS.19．已知等差数列na，公差d大于0，且25aa、是方程212270xx的两个根，数列nb的前n项和为112nnTbn且T。（1）求数列na、nb的通项公式；（2）记1,.nnnnncabcc求证：