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常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-1-习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．0)12()13(2=++−dyxdxx解：13),(2−=xyxP，12),(+=xyxQ，则0=∂∂yP，2=∂∂xQ，所以xQyP∂∂≠∂∂即，原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dyyxdxyx解：,2),(yxyxP+=,2),(yxyxQ−=则,2=∂∂yP,2=∂∂xQ所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程则,0)22(=−++ydyxdyydxxdx两边积分得：.22222Cyxyx=−+3．0)()(=+++dycybxdxbyax(a,b和c为常数)．解：,),(byaxyxP+=,),(cybxyxQ+=则,byP=∂∂,bxQ=∂∂所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程则0,axdxbydxbxdycydy+++=（）两边积分得：.2222Ccybxyax=++4．)0(0)()(≠=−+−bdycybxdxbyax解：,),(byaxyxP−=,),(cybxyxQ−=则,byP−=∂∂,bxQ=∂∂因为0≠b,所以xQyP∂∂≠∂∂，即，原方程不为恰当方程常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-2-５．0sin2cos)1(2=++udttudut解：,cos)1(),(2ututP+=ututQsin2),(=则,cos2uttP=∂∂,cos2utxQ=∂∂所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程则,0cos)sin2cos(2=++uduudttudut两边积分得：.sin)1(2Cut=+６．0)2()2(2=++++dyxyedxyeyexxx解：xyeyxQyeyeyxPxxx2),(,2,(2+=++=，则,2yeyPx+=∂∂,2yexQx+=∂∂所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dyxyedxyyedxexxx两边积分得：.)2(2Cxyeyx=++７．0)2(ln)(2=−++dyyxdxxxy解：,2ln),(),(2yxyxQxxyyxP−=+=则,1xyP=∂∂,1xxQ=∂∂所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程则02)ln(2=−++ydydxxxdydxxy两边积分得：23ln3yxyx−+.C=８．),(0)(22为常数和cbacxydydxbyax=++解：,),(,),(22cxyyxQbyaxyxP=+=则,2byyP=∂∂,cyxQ=∂∂所以当xQyP∂∂=∂∂，即cb=2时，原方程为恰当方程常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-3-则0)(22=++cxydydxbydxax两边积分得：233bxyax+.C=而当cb≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=−+−dttssdsts解：,),(,12),(22tssstQtsstP−=−=则,212tstP−=∂∂,212tssQ−=∂∂所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程,两边积分得：Ctss=−2．10．,0)()(2222=+++dyyxyfdxyxxf其中)(⋅f是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222yxyfyxQyxxfyxP+=+=则,2fxyyP′=∂∂,2fxyxQ′=∂∂所以xQyP∂∂=∂∂，即原方程为恰当方程,两边积分得：22()fxydxC+=∫,即原方程的解为CyxF=+)(22(其中F为f的原积分)．常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-4-习题2-21.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：(１)yxdxdy2=解：原方程即为：dxxydy2=两边积分得：0,2332≠=−yCxy．(２))1(32xyxdxdy+=解：原方程即为：dxxxydy321+=两边积分得：1,0,1ln2332−≠≠=+−xyCxy．(３)0sin2=+xydxdy解：当0≠y时原方程为：0sin2=+xdxydy两边积分得：0)cos(1=++yxc．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos(1=++yxc．(４)221xyyxdxdy+++=；解：原方程即为：2(1)1dyxdxy=++两边积分得：cxxarctgy++=22，即)2(2cxxtgy++=．常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-5-(５)2)2cos(cosyxdxdy=解：①当02cos≠y时原方程即为：dxxydy22)(cos)2(cos=两边积分得：2222sin2tgyxxc−−=．②y2cos=0，即42ππ+=ky也是方程的解.(Nk∈)(６)21ydxdyx−=解：①当1±≠y时原方程即为：xdxydy=−21两边积分得：cxy=−lnarcsin．②1±=y也是方程的解.(７)．yxeyexdxdy+−=−解．原方程即为：dxexdyeyxy)()(−−=+两边积分得：cexeyxy++=+−2222，原方程的解为：ceexyxy=−+−−)(222.2.解下列微分方程的初值问题．(１),03cos2sin=+ydyxdx3)2(ππ=y；解：两边积分得：cyx=+−33sin22cos，即cxy=−2cos33sin2因为3)2(ππ=y,所以3=c.常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-6-所以原方程满足初值问题的解为：32cos33sin2=−xy．(２)．0=+−dyyexdxx，1)0(=y；解：原方程即为：0=+ydydxxex，两边积分得：cdyydxexx=+−2)1(2，因为1)0(=y，所以21−=c，所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++−dyydxexx．(３)．rddr=θ，2)0(=r；解：原方程即为：θdrdr=，两边积分得：cr=−θln，因为2)0(=r，所以2ln=c，所以原方程满足初值问题的解为：2lnln=−θr即θer2=．(４)．,1ln2yxdxdy+=0)1(=y;解：原方程即为：dxxdyyln)1(2=+,两边积分得：3ln3yyxxxc++−=,因为0)1(=y，所以1=c，所以原方程满足初值为：3ln13yyxxx++−=(５)．321xydxdyx=+，1)0(=y；解：原方程即为：dxxxydy231+=，常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-7-两边积分得：cxy++=−−22121，因为1)0(=y，所以23−=c，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx．3.解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．xdxdycos=解：两边积分得：cxy+=sin．积分曲线的简图如下：(２)．aydxdy=，(常数0≠a)；解：①当0≠y时，原方程即为：dxaydy=积分得：cxya+=ln1，即)0(=cceyax②0=y也是方程的解．积分曲线的简图如下：y常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-8-(３)．21ydxdy−=；解：①当1±≠y时，原方程即为：dxydy=−)1(2积分得：cxyy+=−+211ln，即1122+−=xxcecey．②1±=y也是方程的解．积分曲线的简图如下：(４)．nydxdy=，)2,1,31(=n；解：①当0≠y时，ⅰ)2,31=n时，原方程即为dxydyn=，积分得：cynxn=−+−111．ⅱ)1=n时，原方程即为dxydy=积分得：cxy+=ln，即)0(=cceyx．②0=y也是方程的解．积分曲线的简图如下：常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-9-4.跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．解：设B的运动轨迹为)(xyy=,由题意及导数的几何意义，则有22ybydxdy−−=，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足by=)0(的解．解之得：222222ln21ybybbybbbx−−−−++=．5.设微分方程)(yfdxdy=(2.27)，其中f(y)在ay=的某邻域(例如，区间ε−ay)内连续，而且ayyf=⇔=0)(，则在直线ay=上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=∫±εaayfdy)((发散)．证明：(⇒)首先经过域1R：,+∞∞−xaya≤−ε和域2R：,+∞∞−x常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-10-ε+≤aya内任一点(00,yx)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定00)(xxyfdyyy−=∫.(*)这些积分曲线彼此不相交.其次，域1R(2R)内的所有积分曲线cxyfdy+=∫)(都可由其中一条，比如0)(cxyfdy+=∫沿着x轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过1R内某一点),(0ε−ax的积分曲线，它由(*)式确定.若∫−aayfdyε)(收敛，即存在1xx=，使得01)(xxyfdyaa−=∫−ε,即所讨论的积分曲线当1xx=时达到直线ay=上点(ax,1).由(*)式易看出，所论积分曲线在(ax,1)处与ay=相切，在这种情形下，经过此直线上的()⇐一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以∫−aayfdyε)(发散.若积分∫−aayfdyε)(发散，此时由(*)式易看出，所论的经过),(0ε−ax的积分曲线，不可能达到直线ay=上，而以直线ay=为渐近线，又注意到ay=也是(２.13)的积分曲线，所以(2.13)过),(0ε−ax的解是唯一的.注：对于2R内某点(ε+ax,0)完全可类似地证明.6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．(１)．ydxdy=；常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-11-(２)．=≠=000lnyyyydxdy常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-12-习题2-31.求解微分方程：(１)xxeydxdy−=+2;解：,2)(=xpxxexq−=)(，由公式得：xxxxxxexecedxexecey−−−−−−+=+=∫222)(，原方程的解为：xxxexecey−−−−+=2．(２)xytgxdxdy2sin=+；解：,)(tgxxp=xxq2sin)(=，cxdxxxddxxxtgxdxdxxp+−=−===∫∫∫∫coslncos)(coscossin)(，则有xxcxcxdxxxcxdxexceyxx2coslncoslncos2cos)cos2(cos)cos2sin(cos)2sin(−=−=+=+=∫∫−原方程的解为：xxcy2cos2cos−=．(３),sin2xydxdyx=+ππ1)(=y；解：原方程即为：xxyxdxdysin2=+，则xxxqxxpsin)(,2)(==，cxdxxdxxp+==∫∫2ln2)(，则有)sincos(1)sin(1)sin(22lnln22xxxcxxdxxcxexxceyxx+−=+=+=∫∫−因为ππ1)(=y，所以0=c．原方程满足初值问题的解为：xxxxysin1cos12+−=．(４)xyxdxdy+=−−1112，1)0(=y；常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-13-解：xxqxxp+=−=1)(,11)(2,2111ln)(∫+−=xxdxxp则2111ln+−=xxey∫++)1((xc)2111lndxexx−+−+−+−+−+=∫∫1)1(111)1(1122xdxxcxxxdxxcxx要求满足初值问题1)0(=y的解只需求−+−+∫1)1(112xdxxcxx)121arcsin21(112xxxcxx−++−+=代入初值得1=c所以满足初值问题的解为)121arcsin211(112