一道高考题的推广(1)

一道高考题的推广[225500]江苏省姜堰市外国语学校申后坤袁青2004年高考北京卷数学（理科）17题：过抛物线)0(22ppxy上一定点),(00yxP)0(0y作两条直线分别交抛物线于A),(11yx，B),(22yx，（Ⅰ）求该抛物线上纵坐标为2p的点到焦点F的距离;（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求021yyy的值，并证明直线AB斜率是非零常数.解：（Ⅰ）当2py时，8px，所求距离为85p（Ⅱ）设)0)(2,2(0020tptptP，)2,2(121ptptA，)2,2(222ptptB则101ttkPA，201ttkPB，211ttkABPA、PB倾斜角互补0PBPAkk0212ttt0021yptkAB推广1：过抛物线)0(22ppxy上一定点),(00yxP)0(0y，作两直线分别交抛物线于A、B两点，当直线PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，则0ypkAB推广2：过椭圆)0(12222babyax上一定点),(00yxP)0(0y作两直线分别交椭圆于A、B两点，当直线PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，则0202yaxbkAB证明：设),)(sin,cos(ZkkbaP，)sin,cos(baA，)sin,cos(baB2sin2coscoscossinsinabaabbkPA2cotab2sin2coscoscossinsinabaabakPB2cotab0PBPAkk22k)(Zk0202sincos2cotyaxbababkAB推广3：过双曲线)0,0(12222babyax上一定点),(00yxP)0(0y作两直线分别交双曲线于A、B两点，当直线PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，则0202yaxbkAB仿推广2的证明，即可证得.推广4：过不在抛物线)0(22ppxy上的一定点),(00yxP，作两直线分别交抛物线于A、B、C、D四点，当直线AB、CD的斜率存在且倾斜角互补时，则A、B、C、D四点共圆。证明：设直线AB的倾斜角为)0(,则直线AB的方程为:sincos00tyytxx（t为参数）代入抛物线得：)cos(2)sin(020txpty02)cos2sin2(sin02022pxytpyt则202021sin2pxytt2020sin|2|||||pxyPBPA同理20202020sin|2|)(sin|2|||||pxypxyPDPC||||||||PDPCPBPAA、B、C、D四点共圆推广4：过不在二次曲线：)0(02222CAFEyDxCyAx上的一定点P作两直线分别交二次曲线于M、N、P、Q四点，当两直线MN、PQ的倾斜角互补时，则M、N、P、Q四点共圆。仿照推广3的证明，即可证得.推广5：过不在抛物线)0(22ppxy上的一定点),(00yxP作两条直线分别交抛物线于A、B、C、D四点，当直线AB、CD倾斜角互补时，则直线AC与BD；直线AD与BC的倾斜角也互补.证明：设)2,2(121ptptA，)2,2(222ptptB，)2,2(323ptptC，)2,2(424ptptD211ttkAB，431ttkCD直线AB与CD的倾斜角互补0CDABkk即04321tttt又,131ttkAC421ttkBD0BDACkk因而直线AC、BD倾斜角互补同理：直线AD、BC的倾斜角也互补.推广5：过不在二次曲线：)0(02222CAFEyDxCyAx上的一定点P作两直线分别交二次曲线于M、N、P、Q四点，当直线MN、PQ的倾斜角互补时，则直线MP与NQ、直线MQ与NP的倾斜角互补仿照推广5的证明，即可证得