水银柱自动溢出的典型问题的讨论

水银柱自动溢出的典型问题的讨论假定气体被小段水银柱封闭在竖直放置、开口向上、粗细均匀的直玻璃管内，当气温升高或气压降低时，管内气体因为压强减小，体积膨胀，水银柱上移，若到管口后继续上移，就要溢出管外，这类问题常需要考虑到一种可能性——水银的自动溢出问题。当封闭气体温度升高时，压强有增大趋势，气体体积膨胀，水银柱向上移动．此过程只要水银未溢出管口，气体的压强就不变化，是等压升温膨胀的过程．随着温度继续升高，水银逐渐溢出，气体的压强逐渐减小，就有两个因素同时导致气体膨胀了(一个是温度的升高，另一个是压强的减小)，气体膨胀的速度加快，到一定程度(过了“临界状态”)时，就将出现这样的情况：水银柱溢出1mm．气体因压强减小而膨胀，空气柱长度增加1.1mm，封闭空气柱增长的速度超过水银柱减少的速度，这时不需要继续加热升温，水银就会被不断膨胀的气体顶出管口，水银自动溢出，直至全部溢出为止——这就是水银的“自溢问题”。由p—V图的等温变化线(双曲线)的对称性可以看到，水银开始自动溢出的临界状态就存双曲线的中点(图1中的B点)，B点气体体积值(用空气柱的长度值L来表示)等于气体压强值(用汞柱的高度h表示)．设一定质量的气体正经历等温降压膨胀过程，在p-V图中表示为气体沿一根等温线向下移动着．设此刻水银柱上表面恰在管口，若气体状态尚处在临界B点以上(气体体积值小于气体压强值)，气体体积的增加域小于气体压强的减少量，则水银柱的上表面逐渐下降，离开管口越来越远。若气体状态处在临界点B点，气体体积的增加量等于气体压强的减少量，水银柱面不再下降。若气体状态处在临界点B点之下(气体体积值大于气体压强值)，气体体积的增加量大于气体压强的减少量，水银自动溢出，直至全部溢光为止。水银溢出的相反过程是注入水银问题。通常只要管内水银面在管门之下，就允许注入水银，但允许注入的水银柱也有个最大值的问题——即到某个状态之后再也无法注入水银了。这时管内一定质量的气体经历的是等温升压体积缩小的过程，在p-V图中可表示为该气体沿一根等温线向上移动着。当气体状态尚处在B之下(气体体积值大于气体压强值)时，气体体积的减少量大于气体压强的增加量，则水银往的上表面逐渐下降，允许继续注入水银。当气体状态处在B点时，气体体积的减少量等下气体压强的增加量，水银柱面不再下降。当气体状态尚处在B点以上（气体体积值小于气体压强值）时，气体体积的减少量小于气体压强的增加量，则水银面自动上移而溢出——不允许再加入水银了．例1粗细均匀、长100cm的玻璃管，下端封闭上端开口竖直放置，在气温7°C时，长20cm的水银柱封着长75cm的空气柱，大气压强为75cmHg．为了使水银从管口全部排出，管内气温至少要升列多少摄氏度?分析解答设气温为t2℃时刚好达到自溢的“临界状态”，此时还有xcm的水银在管口，由理想气体方程得即由数学知识知道，若两变量之和为恒量，则当它们相等时其积最大。故75+x=100-x,解之得x=12.5cm.代人气态方程，可得t2=27.9℃。所以，气温只需升高到临界状态C[条件是气体压强值(用水银柱的长度表示)恰好等于空气柱的体积值(用空气柱的长度表示)，就可以使水银继续通过自动溢出而全部部溢出管口。对应的气体状态变化过程A→B→C见图2中的P—V图。例2如图3所示，长80cm的均匀细直玻璃管，开口向上竖立时，8cm高的齐管口水银封住一段空气，这时大气压强为75cmHg，温度为27°C。设温度保持不变，大气压强要缓慢地降到多久时，管内水银才能全部溢出管口？管内水银才能伞部溢}“管外?分析解答当大气压强缓慢降低时，管内一定质量的气体发生等温膨胀(玻意耳定律)，于是水银被挤出管外，管内气压又因之而再降低，气体再膨胀……由等温变化的p-V图像可知，气体状态将沿着等温线缓缓下移．只要气体状态尚处在临界点B点以(气体体积值小于气体压强值)，为使气体膨胀，就得不断降低压强．只要气体状态到达临界点B点(气体体积值等于气体压强值)，则由于气体体积的增加量大于气体压强的减少量，水银将自动溢出，直至全部溢光为止。设气压降到临界点B点，管口还剩水银柱高度为xcm，由于此刻气体体积值等于气体压强值。由玻意耳定律得P1V1=P2V2，即(75+8)(80-8)S=(p+x)(80-x)s①而且p+x=80-x②联立两式，解之得x=2.7cm，p=74.6cmHg．例3如图所示，长为L厘米的均匀直玻璃管，开口向上竖直放置着，长为h厘米的水银柱上端与管口平齐，封住管内的空气，大气压强为p0厘米汞柱,则(1)还可以缓缓注入水银的条件是什么?若能注入，求还可以注人多长的水银柱?(2)若将管缓缓倒置，水银不致漏光的条件是什么?分析解答(1)如果还能注入xcm的水银，则由玻意耳定律：(p0+h)(L-h)S=(p0+h+x)(L-h-x)s解之得x=L-p0-2h也可以这么理解：在p-V图中，如果还能注入水银，则到达临界状态之前，由于空气柱长度缩短数大于水银柱长度增加数，水银面逐渐下降(离开管口越来越远)。列临界状态时，水银面离开管口最远．之后继续注入水银，由于空气柱长度缩短数小于水银柱长度增加数，水银面逐渐升高，直至与管口平齐为止。此状态和初状态对称于连接坐标原点和临界点的联线。那就是说，末态C的压强值等于初态A的体积值(p0+h+x=L-h)，或者未态C的体积值等于初态A的压强值（L-h-x=p0+h）.对应的气体状态变化过程A→B→C见图5．能注入水银，则x=L-p0-2h0，所以能注人水银的条件是Lp0+2h(2)将管缓缓倒置，欲使水银不致漏光，争少不能使气体的状态落到“自溢”区域内(即图6中等温线B点之下部分)．就是说希望气体末态B的体积值(L-x)小于态压强值(p0-x)，即值Lp0．