2012北京市高三一模理科数学分类汇编5：立体几何

bb2012北京市高三一模数学理分类汇编5：立体几何【2012北京市丰台区一模理】5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（）A．4B．4410C．8D．4411【答案】B【2012北京市房山区一模理】10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.【答案】32【2012北京市海淀区一模理】（8）在正方体''''ABCDABCD-中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与'AC所成的角为45°的点P的个数为A'B'C'D'ABCDbb（A）0（B）3（C）4（D）6【答案】B【2012北京市海淀区一模理】(16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD-中，AB//CD，ABAD^，4,22,2ABADCD===，PA^平面ABCD，4PA=.（Ⅰ）设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；PDCBA（Ⅱ）求证：BD平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB的值．【答案】（Ⅰ）证明：因为AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD//平面PAB.………………………………………2分因为CD平面PCD，平面PAB平面PCDm，所以CD//m.………………………………………4分（Ⅱ）证明：因为AP^平面ABCD，ABAD^，所以以A为坐标原点，,,ABADAP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B，(0,0,4)P，(0,22,0)D，(2,22,0)C.………………………………………5分所以(4,22,0)BD，(2,22,0)AC，(0,0,4)AP，所以(4)22222000BDAC，(4)0220040BDAP.zyxPDCBAbb所以BDAC，BDAP.因为APACA，AC平面PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPB=（其中01＃），(,,)Qxyz，直线QC与平面PAC所成角为.所以PQPB=.所以(,,4)(4,0,4)xyz-=-.所以4,0,44,xyzì=ïïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q-+.所以(42,22,44)CQ=---+.………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,22,0)BD.………………………………………12分因为sincos,CQBDCQBDCQBD×==×，所以2234(42)8326(42)8(44).解得7[0,1]12.所以712PQPB=.………………………………………14分【2012年北京市西城区高三一模理】4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）243cm（B）223cm（C）28cm（D）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，32ABbb所以左视图的面积为34232，选A.【2012北京市门头沟区一模理】3．己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为(A)8(B)4(C)43(D)23【答案】B【2012北京市门头沟区一模理】8．正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为22，12AA，点M是BC的中点，P是平面11ABCD内的一个动点，且满足2PM，P到11AD和AD的距离相等，则点P的轨迹的长度为(A)(B)23(C)22(D)2【答案】D【2012北京市朝阳区一模理】4.已知平面，直线,,abl，且,ab，则“la且lb”是“l”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【2012北京市朝阳区一模理】10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.bb【答案】324【2012北京市石景山区一模理】设nm,是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．//,//,//nmnm则若B．//,,则若C．nmnm//,//,//则若D．nmnm则若,//,【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D正确。【2012北京市石景山区一模理】7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）、A．4383B．4283C．2383D．323【答案】A【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。四棱锥的高为3，四棱锥的体积为3323231，所以组合体的体积bb为3328，答案选A.【2012北京市石景山区一模理】8．如图，已知平面l，A、B是l上的两个点，C、D在平面内，且,,DACB4AD，6,8ABBC，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，则PABCD体积的最大值是（）A．243B．16C．48D．144【答案】C【2012北京市石景山区一模理】17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111CBAABC中，1AA⊥面ABC，2,ACBCACBC，13AA，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：11//BDCAB面；（Ⅱ）求二面角CBDC1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA上是否存在点P，使得1BDCCP面？请证明你的结论.【答案】（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD．…………1分∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD//AB1．∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1．…………4分（II）解：如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），ACBDPC1A1CB1ABDA1AC1zxyCB1BDbb1(0,3,2)CB，1(1,3,0)CD，…………5分设111(,,)nxyz是面BDC1的一个法向量，则110,0nCBnCD即1111320,30yzxy，取11(1,,)32n.…………7分易知1(0,3,0)CC是面ABC的一个法向量.…………8分1112cos,7nCCnCCnCC.∴二面角C1—BD—C的余弦值为27.…………9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.设P（2，y，0）（0≤y≤3），则(2,3,0)CPy，…………10分则110,0CPCBCPCD，即3(3)0,23(3)0yy.…………12分解之3,73yy∴方程组无解.…………13分∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………14分【2012北京市门头沟区一模理】16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，//EFAB，EFEA，2ABEF，090AED，AEED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：//EH平面FAC；（Ⅱ）求证：EH平面ABCD；（Ⅲ）求二面角AFCB的大小．【答案】（Ⅰ）证明：ACBDO，连结HO，FO因为ABCD为正方形，所以O是AC中点，又H是AD中点，所以1//,2OHCDOHCD，EDABCFHOHEDABCFbb1//,2EFABEFAB，所以//EFOH且EFOH，所以四边形EHOF为平行四边形，所以//EHFO，又因为FO平面FAC，EH平面FAC．所以//EH平面FAC．……………………………4分（Ⅱ）证明：因为AEED，H是AD的中点，所以EHAD……………………………6分又因为//ABEF，EFEA，所以ABEA又因为ABAD所以AB平面AED，因为EH平面AED，所以ABEH，……………………………8分所以EH平面ABCD．………………………9分（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标系，设1EF，则2AB，(0,2,0)B，(2,0,0)C，(0,0,1)F……………10分设平面BCF的法向量为1(,,)nxyz，(2,2,0),(2,0,1)BCCF，110,0nBCnCF所以1(1,1,2)n……………………………11分平面AFC的法向量为2(0,1,0)n……………………………12分1212121cos,2nnnnnn．……………………………13分二面角AFCB为锐角，所以二面角AFCB等于3．……………………………14分【2012北京市朝阳区一模理】17.（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，=90ABD，EB平面ABCD，EF//AB，=2AB，=3,=1EBEF，=13BC，且M是BD的中点.CFEMDyxAOHEDBCFzbb（Ⅰ）求证：EM//平面ADF；（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.【答案】证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN,NF.在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1=2MN//AB,MNAB，又因为1=2EF//AB,EFAB，所以MN//EF且MN=EF.所以四边形MNFE为平行四边形，所以EM//FN.又因为FN平面ADF，EM平面ADF，故EM//平面ADF.……………4分解法二：因为EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-Bxyz.……………1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),BAD3(3,-2,0),(0,0,3),(0,1,3),(,0,0)2CEFM（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，=(0,-1,3)AF.……………2分设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn.由0,0,ADAFnn得323x-y=0,-y+z=0.令y=3，则(2,3,3)n.……………3分又因为3(,0,-3)(2,3,3)=3+0-3=02EMn，所以EMn，又EM平面ADF，所以//EM平面ADF.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是(2,3,3)n.因为EB平面ABD，所以EBBD.又因为ABBD，所以BD平面EBAF.故(3,0,0)BD是平面EBAF的一个法向量.所以1cos=2BDBD,BDnnn，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60.……………10分NCAFEBMDzCAFEBMDxybbPFEABCFA1CPBE（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30.不妨设(0,0,t)P（03t），则=(3,-2,-),=(0,-1,3)PCAFt.所以2-3cos22PCAFtPC,AFPCAFt+13，由题意得2-33222tt+13，化简得4335t，解得35043t.所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30.…………14分【2012北京市东城区一模理】（17）（本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角1AEFB成直二面角，连结1AB，1AP.（如图2）（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小.图1图2案】（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.【答为1AECF，因1DE，所以2AFAD，而60A，即△ADF是正三角形.又因为1AEED,所以EFAD.…………2分所以在图2中有1AEEF，BEEF.………