2017-2018学年高中数学选修2-2：1.5.3定积分的概念课件-(共35张PPT)

1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念考纲定位重难突破1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质.重点：1.定积分的概念及几何意义.2.定积分的基本性质.难点：1.定积分的概念.2.用定积分的基本性质解决有关问题.01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业[自主梳理]一、定积分的概念一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1x2…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx(Δx＝b－an)，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式：_________________________．Sn＝i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)如果Δx无限接近于0(亦即n→∞)时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为：__________.其中：∫——叫作．f(x)——叫作．f(x)dx——叫作．x——叫作．a——叫作．b——叫作．[a，b]——叫作．S＝abf(x)dx积分号被积函数被积式积分变量积分下限积分上限积分区间二、定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分abf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图中的阴影部分)的面积．这就是定积分abf(x)dx的几何意义．三、定积分的性质性质1ab1dx＝.性质2abkf(x)dx＝(其中k是不为0的常数)．性质3ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx.性质4abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)．b－akabf(x)dx[双基自测]1．直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝1x围成曲边梯形的面积用定积分表示为()A.012dxB.120dxC.021xdxD.121xdx解析：由定积分的定义可知D正确．答案：D2．已知ab[f(x)＋g(x)]dx＝3，ab[f(x)－g(x)]dx＝1，则ac2f(x)dx＋cb2f(x)dx＝________(其中acb)．解析：由已知可得abf(x)dx＋abg(x)dx＝3，abf(x)dx－abg(x)dx＝1，解得abf(x)dx＝2，abg(x)dx＝1，所以ac2f(x)dx＋cb2f(x)dx＝2(acf(x)dx＋cbf(x)dx)＝2abf(x)dx＝4.答案：43．计算定积分03(2x＋1)dx＝________.解析：03(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图．所以03(2x＋1)dx＝12(1＋7)×3＝12.答案：12探究一利用定义计算定积分[典例1]利用定积分的定义，计算01(x2＋2)dx.[解析]把区间[0,1]分成n等份，分别为0，1n，1n，2n，…，i－1n，in，…，n－1n，1，小区间的长度为Δx＝1n，取ξi＝in(i＝1,2，…，n)，作和i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n(ξ2i＋2)Δx＝i＝1nin2＋2·1n＝1n3i＝1ni2＋2＝161＋1n2＋1n＋2.因为Δx＝1n，当Δx→0时，n→∞，所以01(x2＋2)dx＝Δx→0limi＝1nf(ξi)Δx＝n→∞lim161＋1n2＋1n＋2＝13＋2＝73.利用定义求定积分的步骤：1．利用定积分的定义，计算12(x＋1)dx的值．解析：f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝1n，在1＋i－1n，1＋in上取ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，∴f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，∴i＝1nf(ξi)·Δx＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋n－12n＝2＋12－12n＝52－12n，∴12(1＋x)dx＝n→∞lim52－12n＝52.探究二利用定积分的几何意义求定积分[典例2]说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)012dx；(2)12xdx；(3)-111－x2dx.[解析](1)012dx表示的是图(1)中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以012dx＝2.(2)12xdx表示的是图(2)中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以12xdx＝32.(3)-111－x2dx表示的是图(3)中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以-111－x2dx＝π2.由定积分的几何意义求定积分的步骤：(1)当f(x)≥0时，abf(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算abf(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)≥0时，abf(x)dx＝S；当f(x)0时，abf(x)dx＝－S.2．利用定积分的几何意义，求：－339－x2dx.解析：(1)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知3－39－x2dx＝92π.探究三利用定积分的性质求定积分[典例3](1)计算-33(9－x2－x3)dx的值；(2)已知f(x)＝x，x∈[0，2，4－x，x∈[2，3，52－x2，x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．[解析](1)如图，由定积分的几何意义，得－339－x2dx＝π×322＝9π2，－33x3dx＝0.由定积分的性质，得3－3(9－x2－x3)dx＝－339－x2dx－－33x3dx＝9π2.(2)如图，由定积分的几何意义，得02xdx＝12×2×2＝2，23(4－x)dx＝12×(1＋2)×1＝32，3552－x2dx＝12×2×1＝1，∴05f(x)dx＝02xdx＋23(4－x)dx＋3552－x2dx＝2＋32＋1＝92.利用定积分的性质计算定积分的步骤：(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性质计算．3．已知01x3dx＝14，12x3dx＝154，12x2dx＝73，24x2dx＝563，求：(1)023x3dx；(2)146x2dx；(3)12(3x2－2x3)dx.解析：(1)023x3dx＝302x3dx＝3(01x3dx＋12x3dx)＝3×(14＋154)＝12；(2)146x2dx＝614x2dx＝6(12x2dx＋24x2dx)＝6×(73＋563)＝126；(3)12(3x2－2x3)dx＝123x2dx－122x3dx＝312x2dx－212x3dx＝3×73－2×154＝7－152＝－12.对定积分的几何意义理解不清致误[典例](1)利用定积分的性质及几何意义，求02(1－x)dx围成的几何图形的面积；(2)求02(1－x)dx的值．[解析](1)由定积分的几何意义，得02(1－x)dx围成的几何图形是x＝0，x＝2，y＝0及y＝1－x所围成的阴影部分(如图)，该几何图形的面积S＝2×12×1×1＝1.(2)02(1－x)dx＝01(1－x)dx＋12(1－x)dx＝12×1×1＋12×1×(－1)＝0.[错因与防范](1)用定积分计算平面区域的面积时，在x轴上方的图形面积为正值，在x轴下方的图形面积为被积函数在该区间内定积分值的绝对值，所以该几何图形的面积S＝02|1－x|dx.(2)根据定积分的性质02(1－x)dx等于01(1－x)dx与12(1－x)dx的代数和，而021－xdx是定积分值的绝对值．由此可知02|1－x|dx，02(1－x)dx及021－xdx含义各不相同．[随堂训练]1．定积分abf(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξ1的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关解析：定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的选择无关．答案：A2．下列等式不成立的是()A.ab[mf(x)＋ng(x)]dx＝mabf(x)dx＋nabg(x)dxB.ab[f(x)＋1]dx＝abf(x)dx＋b－aC.abf(x)g(x)dx＝abf(x)dx·abg(x)dxD.－2π2πsinxdx＝0－2πsinxdx＋02πsinxdx解析：利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立．例如02xdx＝2，022dx＝4，022xdx＝4，但022xdx≠02xdx·022dx.答案：C3．由y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0xπ2，∴sinx0.∴y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为20sinxdx.答案：20sinxdx4．已知0exdx＝e22，0ex3dx＝e44，求下列定积分：(1)0e(2x＋x3)dx；(2)0e(2x3－x＋1)dx.解析：(1)0e(2x＋x3)dx＝20exdx＋0ex3dx＝e2＋e44.(2)0e(2x3－x＋1)dx＝20ex3dx－0exdx＋0e1dx＝e42－e22＋e.